polinomlar

1) P²(x).Q(2x) polinomunun derecesi 8, P³(x)/Q(3x) polinomunun derecesi 2 olduğuna göre , P(2x)/P(x) polinomunun başkatsayısı kaçtır? (4)


2) P(x) = (a+b-4).x^a+b + a + b -3 polinomu sabit polinom olduğuna göre P(a) + P(b) kaç olabilir?(-14)

3)Dördüncü dereceden P(x) polinomunun (x+1), (x+2), (x+3) ve (x+4) ile bölümünden kalanlar eşit ve 4 tür.
P(x) polinomunun sabit terimi 52 old.göre katsayılar toplamı kaçtır? (244)


4) P(x) = x³ - mx² + nx -4 polinomu (x² -3x + 5) ile tam bölündüğüne göre n kaçtır ? (37/5)

5) P(x³) = ax⁶ + (b-2)x⁵ + (a + 3)x⁴ + bx³ + 3
polinomuna göre P(x) polinomunun (x-3) ile bölümünden kalan kaçtır? (-18)

1)
der[P(x)]=a
der[Q(x)]=b dersek;
der[P²(x).Q(2x)]=2a+b=8
der[P³(x)/Q(3x)]=3a-b=2 olur.
Bulduğumuz 2 bilinmeyenli 2 denklemi çözersek;
a=2 b=4 buluruz.
Demek ki der[P(x)]=2 imiş.
P(x)=x² şeklinde kabul edersek;
P(2x)=4x² olur.
P(2x)/P(x)=4 olarak bulunur.

2)
Polinomun sabit polinom olduğu verilmiş. Sabit polinomun derecesi 0 olmalıdır.
Bu soruda 2 durum var:
i. a+b=0
ii. a+b=4

İlk durumu ele alırsak;
P(x)=-7 olur.

İkinci durumda ise P(x)=1 olur.

Bizden 2P(x) istendiğinden cevap ya 2'dir ya da -14'tür.

3)
P(x)-4=a.(x+1).(x+2).(x+3).(x+4)
P(0)=52 ise P(1) kaçtır?
x=0 kabul edelim;
P(0)-4=a.1.2.3.4=24a=52-4=48 a=2 olur.
Demek ki; P(x)=2.(x+1).(x+2).(x+3).(x+4)+4 şeklinde bir polinommuş.
x=1 olarak alırsak;
P(1)=2.2.3.4.5+4=244

4)
P(x) polinomunda x² gördüğümüz yere 3x-5 yazarsak;
x.(3x-5)-m(3x-5)+nx-4=0
3x²-5x-3mx+5m+nx-4=0
3(3x-5)-5x-3mx+5m+nx-4=0
9x-15-5x-3mx+5m+nx-4=0
(9-5-3m+n)x+5m-19=0 olarak buluruz.

Polinomların eşitliğinden;
5m-19=0
m=19/5
4-3m+n=0
n=3m-4
n=(57/5)-4
n=37/5 olur.

5)
P(x³)=ax⁶+(b-2)x⁵+(a+3)x⁴+bx³+3 şeklinde ise;

x⁵ ile x⁴ terimlerinin katsayıları 0 olmalıdır. Çünkü P(x) polinomunda x yerine x³ yazarsak bütün terimlerin kuvvetleri 3ün katı olur.
Bu nedenle b=2 a=-3 olmuş olur.

Yani polinom;
P(x³)=-3x⁶+2x³+3
P(x)=-3x²+2x+3 şeklindedir.

x yerine 3 yazarsak;
P(3)=-3.9+6+3=-2.9=-18 şeklinde bizden istenileni buluruz.

Ellerine sağlık.