modüler aritmetik

arkadaşlar şu denklik (kalan) sınıfları yardımı ile herhangi bir sayının pratik cevaplarını bulabiliyoruz fakat ben mantığını kavrayamadım olayın?
sorunu bir örnekle izah edeyim mesela 6²⁰ sayısının 7 ile bölümünden kalan?
şöyle çözüyoruz. 6≡-1 (mod 7) => 6²⁰=(-1)²⁰=1
peki bir pozitif sayının nasıl kalanı - li olabiliyor.belli bir mantığı(ispatı) var mı bunun?

pozitif bir sayının kalanı 1den küçükse modüler aritmetikde negatif sayıya denk olur. vermiş olduğunuz örneği inceleyelim:

6 ≡ x (mod 7)

denkliğin her iki tarafından 7 çıkarabiliriz.

6-7 ≡ x-7 (mod 7)
x ≡ x-7 (mod 7) olduğuna göre

6 ≡ -1 (mod 7)

Pozitif bir sayının kalanının negatif olması kafanı karıştırmış..Öncelikle 6≡-1(mod 7) ifadesini 6'nın 7 ile bölümünden kalan -1'dir olarak anlamamalıyız..
Bu ifadeyi şöyle anlarsak daha net anlaşılır..a≡b(mod n) Burada a'dan b'yi çıkarırsak,a-b'nin n ile bölümünden kalan 0 olacaktır..Şimdi aynı şeyi senin sorun için uygularsak..
6≡-1(mod 7) 6'dan -1'i çıkarırsak 7 ile bölümünden kalan 0 olacaktır..6-(-1)=7 gerçekten de 7 ile tam bölünür..

Modüler aritmetik uygulaması da zaten kalanları bulmaya yarar..Bu yüzden biz mod işlemini uygularken,a sayısından kaç çıkarırsam n'ye tam bölünür probleminin sonucunu bulmaya çalışırız..Hemen hemen mantık bu..