[sinavkizi]

1

f(x)=√(4-x²)-log(3-x) eğrisinin sürekli olduğu en geniş aralık nedir? (-2,2)

2
f(x) -->

ax+6, x≥2
(bx-8)/(2x-4), x<2 fonksiyonu her x gerçel sayısında sürekli ise a=? (-2)

3
f(x)=√(log 3 tabanında (9-x²)) fonksiyonunun sürekli olduğu aralık nedir? [-2√2, 2√2]

4
genel terimi 6n+2 olan bir aritmetik dizinin ilk n terimi toplamı nedir? (n(3n+5))

5
pozitif terimli bir a_n aritmetik dizisinde,

(a1+a2+a3+..........+a19)/(a9+11) kesrinin değeri nedir? (19/2)

[mathematics21]

1) Bu fonksiyonun sürekli olduğu aralıkta 4-x² > 0 ve 3-x>0 olmalıdır. Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (-2, 2) dir.

NOT: √x fonksiyonu x=0 da tanımlı olduğu halde x=0 da sürekli değildir. Çünkü fonksiyon x=0 ın solunda tanımlı değildir. O yüzden x=0 noktasındaki sol limit yoktur. Sol limit olmadığı için limit yoktur ve dolayısıyla da sürekli değilidir. Ama x=0 noktasında sol limite bakılamadığı için sadece sağ limite bakıp bu fonksiyonun x=0 da sağdan sürekli olduğunu söyleyebiliriz. Bazı kitaplar sağdan soldan ayırımı yapmadan bu fonksiyonun x=0 da sürekli olduğunu kabul ederler. Bu tamamen tanıma bağlıdır.

2) Bu fonksiyon x=2 noktası dışında her yerde süreklidir. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için sürekli olmasını istediğimiz bu fonksiyonun x=2 noktasında sürekli olması yeterlidir. x=2 noktasındaki sağ limit 2a+6 dır. Sol limit için (bx-8)/(2x-4) ifadesinin incelenmesi gerekir. (bx-8)/(2x-4) ün x=2 de sol limitinin olabilmesi için, x=2 de payda sıfır olduğundan, pay da x=2 de sıfır olmalıdır. Yani 2b-8=0 ve b=4 olmalıdır. Bu durumda (4x-8)/(2x-4) in x=2 deki sol limiti 2 olur. Verilen fonksiyonun x=2 de sürekli olması için 2a+6=2 ve a=-2 olmalıdır.

3) 1. soru için yazdığım nota bakarsanız bu soru için yazdığınız cevaba göre √x fonksiyonu x=0 da sürekli kabul edilmiş. İki soruyu da aynı kaynaktan alıyorsanız iki cevaptan birinde problem var.

Gelelim çözüme:

Kök içinin pozitif olması gerekir. log₃(9-x²) > 0 olmalı. Buradan 9-x²>1 ve x²<8 yani -2√2 <x< 2√2 olmalı.

4) İlk n terimin toplamı S_n = n(a₁+a_n)/2 dir. Yani S_n = n(8+6n+2)/2 = n(3n+5) tir.

5) Aritmetik bir dizide a₁+a₁₉=2a₁₀, a₂+a₁₈ = 2a₁₀, ... , a₉+a₁₁ = 2a₁₀ dur.

Yani istenen ifadenin payı 19a₁₀, paydası da 2a₁₀ dur. Bunların oranı 19/2 dir.

Tabii ki a₁₀ un sıfır olmadığını düşündük.

[sinavkizi]

1) Bu fonksiyonun sürekli olduğu aralıkta 4-x² > 0 ve 3-x>0 olmalıdır. Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (-2, 2) dir.

NOT: √x fonksiyonu x=0 da tanımlı olduğu halde x=0 da sürekli değildir. Çünkü fonksiyon x=0 ın solunda tanımlı değildir. O yüzden x=0 noktasındaki sol limit yoktur. Sol limit olmadığı için limit yoktur ve dolayısıyla da sürekli değilidir. Ama x=0 noktasında sol limite bakılamadığı için sadece sağ limite bakıp bu fonksiyonun x=0 da sağdan sürekli olduğunu söyleyebiliriz. Bazı kitaplar sağdan soldan ayırımı yapmadan bu fonksiyonun x=0 da sürekli olduğunu kabul ederler. Bu tamamen tanıma bağlıdır.

2) Bu fonksiyon x=2 noktası dışında her yerde süreklidir. Dolayısıyla her x gerçel sayısı için sürekli olmasını istediğimiz bu fonksiyonun x=2 noktasında sürekli olması yeterlidir. x=2 noktasındaki sağ limit 2a+6 dır. Sol limit için (bx-8)/(2x-4) ifadesinin incelenmesi gerekir. (bx-8)/(2x-4) ün x=2 de sol limitinin olabilmesi için, x=2 de payda sıfır olduğundan, pay da x=2 de sıfır olmalıdır. Yani 2b-8=0 ve b=4 olmalıdır. Bu durumda (4x-8)/(2x-4) in x=2 deki sol limiti 2 olur. Verilen fonksiyonun x=2 de sürekli olması için 2a+6=2 ve a=-2 olmalıdır.

3) 1. soru için yazdığım nota bakarsanız bu soru için yazdığınız cevaba göre √x fonksiyonu x=0 da sürekli kabul edilmiş. İki soruyu da aynı kaynaktan alıyorsanız iki cevaptan birinde problem var.

Gelelim çözüme:

Kök içinin pozitif olması gerekir. log₃(9-x²) > 0 olmalı. Buradan 9-x²>1 ve x²<8 yani -2√2 <x< 2√2 olmalı.

4) İlk n terimin toplamı S_n = n(a₁+a_n)/2 dir. Yani S_n = n(8+6n+2)/2 = n(3n+5) tir.

5) Aritmetik bir dizide a₁+a₁₉=2a₁₀, a₂+a₁₈ = 2a₁₀, ... , a₉+a₁₁ = 2a₁₀ dur.

Yani istenen ifadenin payı 19a₁₀, paydası da 2a₁₀ dur. Bunların oranı 19/2 dir.

Tabii ki a₁₀ un sıfır olmadığını düşündük.

harikâ hocam, çok teşekkürler.