Polinom

Yüzüp yüzüp kuyruğuna geldiğim sorular Hep de 4. derecede takılmışım.
1p(x)=mx⁵+4x⁵+3x⁴-mx³+√2x-√2nx+n+1 polinomu 4. dereceden rasyonel katsayılı bir polinomsa katsayılar toplamı nedir? (9)
2 P(x)/(x²-2x) ifadesi bir polinom belirttiğine göre, P(x) polinomunun (x-2) ile bölümünden kalan nedir? (0)
34. dereceden P(x) polinomu x, (x-1) ve (x+1) ile tam bölünebilmektedir. P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı 48, P(x+3) polinomunun sabit terimi 240 ise P(x) polinomunun (x+3) ile bölümünden kalan kaçtır? (48)
44. dereceden P(x) polinomu (x+1)⁴ ile tam bölünüyor. P(x) polinomunun (x-1) ile bölümünden kalan 48 ise P(2x) polinomunun başkatsayısı kaçtır? (48)
5P(x)=x⁴-12x³-14x²+14x+27 polinomunun (x-13) ile bölümünden kalan kaçtır? (40)

1. soruda √2n mi √2n mi?

√2. (x) ve
√2. (nx)

C-1

m=-4 olmalıdır, çünkü 5. dereceden terim bulunmamalı.

Rasyonel katsayılı olduğundan, √2x olmamalı,
x₁'li terimleri parante alırsak,

x(√2-√2n)=0 olmalı.

√2=√2n
n=1 olarak bulunur.

Polinomu tekrar yazarsak,

p(x)=-4x⁵+4x⁵+3x⁴+4x³+√2x-√2x+1+1
p(x)=3x⁴+4x³+2
Katsayılar toplamı, 3+4+2=9

C-2

Şu şekilde düşünelim P(x) / x(x-2) , ifadesinin bir polinom belirtmesi için x-2 veya x ile sadeleşmesi gerekir . P(2)=0bulunur.

Örneğin P(x) = mx+n olsaydı ,

mx+n / x.(x-2) şeklinde bir polinom olmazdı bu mx+n'in , x veya x-2 ile tam bölünmesi gerekirdi.

tabii ya
köklüyü rasyonel düşünüyorum deminden beri.
bir şeyi yanlış biliyorum diyordum bu imiş.

C-5

x yerine 13 yazarsak,

13⁴-12.13³-14.13²+14.13+27

Her seferinde yalnızca ilk iki terimi işleme sokalım ve sonucu ilk iki terimin yerine yazalım

İlk iki terimin sonucuna bakarsak,
13³ parantezine alalım, 13³(13-12)=13³ olacaktır.
Bu iki terim yerine 13³ yazalım,

13³-14.13²+14.13+27

İlk iki terime bakalım, 13² parantezine alırsak,
13²(13-14)=-13² olacak, yerine yazalım,

-13²+14.13+27

İlk iki terime bakalım, 13 parantezine alırsak,

13(-13+14)=13

Yerine yazarsak, son olaraka

13+27 kalıyor
Bunun da sonucu 40 olacak elbette

C-4

P(x)=(x+1)⁴.B(x) olsun.

x-1 ile bölümünden kalan 48 ise, P(1)=48 olmalıdır.

P(1)=2⁴.B(1)=48
16.B(1)=48
B(1)=3 olacaktır.

Dikkat edilmesi gereken ayrıntı şu, P(x) 4. dereceden olduğu söylenmiş, içinde (x+1)⁴ çarpanı da var zaten. Öyleyse B(x) polinomunda x'li terim olmamalıdır ki P(x) 4. dereceden olarak kalsın.
B(x) içerisinde x'li terim yoksa sabit polinomdur.
B(1)=3 olduğuna göre bütün B(x) ler 3 olacaktır.
B(x)=3

P(2x) polinomunu yazalım,

P(x)=(x+1)⁴.3
P(2x)=(2x+1)⁴.3

Başkatsayı soruluyor,
(2x+1)⁴ açılımından 16x⁴ gelecek, bir de 3 ile çarpılınca 48x⁴ en büyük dereceli terim olacaktır.
Polinomun başkatsayısı da 48 oluyor.

Cevap 3

4. dereceden P(x) polinomu x, (x-1) ve (x+1) ile tam bölünebilmektedir. P(x+1) polinomunun katsayılar toplamı 48, P(x+3) polinomunun sabit terimi 240 ise P(x) polinomunun (x+3) ile bölümünden kalan kaçtır? (48)


P(x) polinomu 4.dereceden olduğundan ,

P(x)=x.(x-1).(x+1).(mx+n) olsun.(mx+n => 1.dereceden)

P(2)=48 verilmiş, P(2) = 2.1.3.(2m+n)=48 , 2m+n = 8 bulunur.

P(3) = 240 verilmiş , 3.2.4.(3m+n)=240 , 3m+n = 10 bulunur.

m=2 n=4 bulunur.


P(-3) soruluyor.yazalım,
P(x)=x.(x-1).(x+1).(mx+n)
P(-3)=(-3).(-4).(-2).(-6+4)
-24.(-2)=48 bulunur.

(1 ve 3. terimler) ve (2 ve 4. terimler) diye düşündüm ama kaçırmışım, daha güzeli varmış.