1. #1

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite

    Temel Kavramlar İleri Düzey Sorular ve Çözümleri

    Soru - 1)
    y=
    x²+6x+10
    x+2



    olduğuna göre, y nin alabileceği farklı pozitif tam sayı değerleri kaç tanedir?(0,1,2,3,4)

    Çözüm - 1)
    y=
    x²+6x+10
    x+2
    =
    x²+4x+4+2x+4+2
    x+2
    =
    (x+2)²+2(x+2)+2
    x+2
    =x+2+2+
    2
    x+2
    =x+4
    2
    x+2



    y nin ve x in tamsayı olduğu soruda verilmiş. O halde y nin tam sayı çıkması için 2/(x+2) ifadesinin tam sayı olması gerekir. O halde paydadaki x+2, ikinin tam böleni olmalıdır.

    x+2'nin alabileceği değerler ; 2,-2,1,-1'dir.
    x'in değerleri ; 0,-4,-1,-3'tür.

    x= 0 ---> y= 5
    x= -4 ---> y= -1
    x=-1 ---> y= 5
    x=-3 ---> y=-1

    y : {-1,5} fakat -1∉Z⁺ o halde; y : {5} s(y)=1 tanedir.

    Soru - 2)
    a ve b pozitif tamsayılardır.
    3a+5b=105
    olduğuna göre 8a+5b nin en büyük değeri kaçtır?(200,214,235,255,310)

    Çözüm - 2)
    İstenen ifadede (8a+5b) a değeri b ye göre büyük seçilmelidir. Çünkü büyük değer; büyük değer ile çarpıldığında daha hızlı büyüyecektir.
    a nın maximum değeri 35 tir. Ancak a değerinin 35 olarak aldığımızda b=0 olacaktır. Fakat soru bize pozitif tamsayı demiş. O halde 5b yi de göz önünde bulundurarak bir küçük değeri vermeliyiz. O da 35-5'ten 30 olacaktır.(a; 5in katı olmalı. Çünkü 5b ile 3a toplandığında 5 in katı elde ediliyor.)

    3a+5b=105=90+15
    3a=90 ---> a=30
    5b=15 ---> b=3

    8a+5b=8.30+5.3=240+15=255 olarak bulunur.

    Soru - 3)
    x ve y doğal sayılardır.
    69.59+x=y4
    olduğuna göre, x+y'nin en küçük değeri kaçtır?(17,21,29,33,37)

    Çözüm - 3)
    Aman deyim 69.59'u çarpmayın.
    69.59+x=(64+5).(64-5)+x=64²-5²+x=8⁴-25+x=y⁴
    En küçük değer istendiği için x=25 diyerek; elde edilen tam 4. kuvvetli ifadeyi bozmamış olur ve y nin değerini azaltmış oluruz.
    x=25 ise 8⁴=y⁴ ---> y=8
    x+y=25+8=33 bulunur.

    Soru - 4)
    x,y,z birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
    x+y.z=10
    olduğuna göre, x.y+z ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?(26,25,24,22,20)

    Çözüm - 4)
    İstenen ifadede x.y+z gibi bir ifade var. En büyük değer istendiği için x ile y ye olabildiğince büyük ve birbirine yakın değerler verilmeli.
    x=6
    y=4
    z=1
    olarak seçilirse 6.4+1=25 olarak bulunur.

    Soru - 5)
    a,b,c birer tamsayı olmak üzere,
    b²-a<c
    olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır?(0,1,2,3,4)

    Çözüm - 5)
    Toplamın en az değeri aranıyor. b²≥0 olacağından 0 nın olabildiğince küçük seçilmesi lazım ki; c de ona göre en küçük değeri alabilsin. Sıfır değerine yakın tamsayılar arasında dolaşılmalı.
    b=-1 a=1 c=1 için minimum değer bulunur.
    a+b+c=1-1+1=1

    Soru - 6)
    x,y,z sırasıyla ardışık çift sayılar ve y≠0 olmak üzere,
    (x+y+z)²
    xy+yz+xz+4



    işleminin sonucu kaçtır?(1,2,3,4,5)

    Çözüm - 6)
    Çoğu kişi y için x+2, z için x+4 diyerek tek değişkene indiriyordur.Fakat öyle biraz uzun olabilir. x=y-2, z=y+2 dense daha iyi olur.
    x=y-2
    y
    z=y+2 için işlem yapılırsa;
    (x+y+z)²
    xy+yz+xz+4
    =
    (y-2+y+y+2)²
    (y-2).y+y(y+2)+(y-2)(y+2)+4
    =
    (3y)²
    y²-2y+y²+2y+y²-2²+4
    =
    9y²
    3y²
    =3'tür.




    Soru - 7)
    a<b<c olmak üzere;
    2a+5b+10c<103
    olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?(4,5,6,7,8)

    Çözüm - 7)
    Soru biza a,b,c nin sayı kümesinin vermediği için a,b,c bütün sayılar olabilir. a değerinin en büyük değeri arandığı için b ve c reel sayı olduğundan a nın çok çok yakınında bir sayı olabilir. O halde b ve c yi a ya eşit gibi varsayalım.
    2a+5a+10a<103
    17a<103
    a<6,...
    En büyük tam sayı değeri istendiği için (a)max=6 bulunur.

    Soru - 8)
    n bir doğal sayı olmak üzere, 6 dan (4n+2) ye kadar olan çift sayıların toplamından , 2 den (4n+6) ya kadar olan çift sayıların toplamı çıkarıldığında sonuç -272 oluyor.
    Buna göre, n kaçtır?(32,33,34,35,36)
    Çözüm - 8)
    6+8+10+...+4n+2
    2+4+6+8+10+...+4n+2+4n+4+4n+6
    -_____________________________
    -2-4-8n-10=-272
    -8n-16=-272
    8n=256
    n=32

    Soru - 9)
    n.(-2)-m<0
    olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

    A) n negatif ise m pozitif çift sayıdır.
    B) n pozitif ise m negatif çift sayıdır.
    C) n negatif ise m negatif çift sayıdır.
    D) m tek sayı ise n pozitif tek sayıdır.
    E) m çift sayı ise n negatif tek sayıdır.

    Çözüm - 9)
    n ile (-2)-m ters işaretli olmalı ki çarpımlarının değeri <0 olsun.
    (-2)-m=
    1
    (-2)+m
    olacağından m tek için ifade negatif, m çift için ifade pozitif olur.



    m=Tek ise n=Pozitif
    m=Çift ise n=Negatif
    İlk ifade D seçeneğinde vardır.

    Soru - 10)
    a,b,c birbirinden farklı negatif tamsayılar olmak üzere;
    6
    a
    +
    8
    b
    +
    9
    c



    ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?(-23,-15,-13,-5,-3)

    Çözüm - 10)
    Negatif sayılar ve en küçük değer istendiği için en büyük pozitif değerleri bulup eksilisini almalıyız. a,b,c nin üçü de payda da O halde bize bu sayıların en büyük değerleri lazım. O da pay kısmındaki ifadelerin en büyük pozitif bölenleri; yani kendileridir. Bir de -1 ile çarpacaktık. O halde a,b,c değerleri;
    a=-6, b=-8, c=-9
    a+b+c=-6-8-9=-15

    Soru - 11)
    x,y ve (z+1) aralarında asal sayılardır.
    x.y.(z+1)=54
    olduğuna göre, x+y+z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?(12,13,14,16,17)

    Çözüm - 11)
    Aralarında asallıktan söz ediliyorsa bu sayılar tam sayılardır. O halde 54'ü çarpanlara ayırır, birbirine yakın değerleri x,y,z+1 e vererek toplamın en az değeri bulunur.
    54=9.6=2.3.9
    x=2,y=3,z=8(z+1=9 --> z=8)
    x+y+z=2+3+8=13 olarak bulunur.

    Soru - 12)
    ab, -b, c3 negatif tek sayılardır.
    Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitif tek sayıdır?
    A) a.b+c
    B) a.c+b.a
    C) a.b.c
    D) (a.b+1)/c
    E) a.b.c-3

    Çözüm - 12)
    -b negatif tek sayı ise; b pozitif tek sayıdır. ab için b pozitif tek sayı ise; b aynı zamanda sayma sayısı olduğu için yokmuş gibi düşünülür a buradan tek bulunur. İşareti ise üs tek olduğu için negatif elde etmek için a da negatif olmalı. O halde a negatif tek sayıdır. c3 için 3 sayma sayısı olduğu için yokmuş gibi düşünülür. c buradan negatif tek olmalı.
    a=-T, b=+T, c=-T
    a.b.c=+T | Yanıt : C

    Soru - 13)
    x ve y birer tamsayı olmak üzere;
    x2+y2≤10 koşulunu sağlayan kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?(35,36,37,40,43)

    Çözüm - 13)
    x=0 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
    x=1 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
    x=-1 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
    x=2 için y={-2,-1,0,1,2} ---> 5 tane ikili
    x=-2 için y={-2,-1,0,1,2} ---> 5 tane ikili
    x=3 için y={-1,0,1} ---> 3 tane ikili
    x=3 için y={-1,0,1} ---> 3 tane ikili

    7+7+7+5+5+3+3=21+10+6=37 tane ikili vardır.

    Soru - 14)
    x ve y doğal sayılardır.
    x+y+1-
    (x-y-1)!
    (x-2-y)!
    =42



    olduğuna göre, y! sayısında kaç tane 3 çarpanı vardır?(10,9,8,7,6)

    Çözüm - 14)
    x+y+1-
    (x-y-1)!
    (x-2-y)!
    =
    (x-y-1).(x-y-2)!
    (x-2-y)!
    =(x+y+1)-(x-y-1)=42



    x+y+1-x+y+1=42
    2y+2=42
    y=20

    y!=20!=3m.n
    m nin maksimum değeri;
    20/3=6
    6/2=2
    6+2=8 tane 3 çarpanı vardır.

    Soru - 15)
    1 den n ye kadar olan her tamsayı, kendi değeri adedine soldan sağa doğru yanyana yazılarak,
    A=1223334444...n
    şeklinde 28 basamaklı bir A sayısı oluşturuluyor.
    Buna göre n sayısı kaçtır?(9,8,7,6,5)
    Çözüm - 15)
    Basamak sayılarına bakıldığında 1 tane 1, 2 tane 2, 3 tane 3 ,... devam ediyor. O halde;
    1+2+3+...+n=28 denilebilir.
    n.(n+1)=2.28
    n.(n+1)=7.8
    n=7 olarak bulunur.

    Soru - 16)
    a,b,c tamsayıdır.
    a=2b-5=3c+2
    a+b+c<120
    olduğuna göre, c en çok kaçtır?(12,15,19,21,22)

    Çözüm - 16)
    a ile b yi c cinsinden yazalım.
    a=3c+2
    b=
    3c+7
    2



    a+b+c=3c+2+
    3c+7
    2
    +c Payda eşitlersen;



    a+b+c=
    6c+4
    2
    +
    3c+7
    2
    +
    2c
    2
    <120



    11c+11<240
    11c<229
    c en çok 19 olmalıdır.

    Soru - 17)
    a+b+c, a+d, a+e
    sayıları sırasıyla ardışık tamsayılardır.
    Buna göre, aşağıdakilerden daima çifttir?
    A)d-e
    B)b+c-d
    C)e-b-c
    D)a+c
    E)a+d+e

    Çözüm - 17)
    Ardışık sayılar ise;
    T,Ç,T
    Ç,T,Ç olmalıdır.

    a+e-(a+b+c)=T-T=Ç
    a+e-(a+b+c)=Ç-Ç=Ç

    a+e-a-b-c=e-b-c daima çifttir.(C)

    Soru - 18)
    x,y,z sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır.
    7.(x!+y!+z!)=8.8!
    olduğuna göre, x+y+z kaçtır?(15,21,24,27,30)

    Çözüm - 18)
    x,y,z pozitif ardışık ise; tek değişkene indirilirse;
    7.(x!+y.x!+z.y.x!)=8.8!
    7.x!.(1+y+yz)=8.8!
    7.x!.(1+(x+1)+(x+1).(x+2))=8.8!
    7.x!.(1+x+1+x²+2x+x+2)=8.8!
    7.x!.(x²+4x+4)=8.8!
    7.x!.(x+2)²=8.8.7.6!
    x!.(x+2)²=6!.(6+2)²
    x=6, y=7, z=8
    x+y+z=6+7+8=21

    Soru - 19)
    (a+4) ile (b-1) aralarında asal sayılardır.
    a+b-2
    5
    =
    a+1
    3



    olduğuna göre, a+b kaçtır?(-5,-1,2,3,5)

    Çözüm - 19)
    İçler >< Dışlar çarpımı yapılırsa;
    3a+3b-6=5a+5
    2a=3b-11
    2a+8=3b-11+8
    2(a+4)=3(b-1)

    a+4=3
    a=-1

    b-1=2
    b=3

    a+b=-1+3=2 olarak bulunur.

    Soru - 20)
    1!.2!.3!. ... . 48! çarpımı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç tam kare olur?
    A)48! B)44! C)32! D)30! E)24!

    Çözüm - 20)
    1!.2!.3!. ... . 48! ifadesindeki çarpanlar ikili ikili gruplandırılırsa;
    (1!.2!).(3!.4!) ... . (47!.48!)
    (1!.2.1!).(3!.4.3!). ... .(47!.48.47!)
    ((1!)².2).((3!)².4). ... .((47!)².48)
    (1!)².(3!)². ... .(47!)².2.4.6. ... .48
    (1!)².(3!)². ... .(47!)².224.1.2.3. ... .24
    (1!)².(3!)². ... .(47!)².224.24!
    Tam kare olması için 24! ile çarpılmalı.
    (1!)².(3!)². ... .(47!)².224.24!.24!
    ...

  2. #2

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    1)

    Çözüm-1)
    Masa sayısı --> x olsun. Şimdi genel formül çıkarmak gerekecek.
    x tane masa birleşmeseydi 4x kişi masaların çevresine oturacaktı. Fakat masalar birleştiğinde bu sayıda bir azalma meydana gelir. Bu azalma masa sayısı ile doğru orantılıdır. 2 masayı birleştirmek için masaların 1 kenarı birleştirilir. 3 masa için 2, 7 masa için 6, n masa için n-1.(Eline bak. 5 parmak; 4 aralık). Bu birleşen kenarlar ayrılsa idi her kenara bir kişi yani toplamda iki kişi oturacaktı. Birleşince bu kadar kişi ayakta kalıyor. O halde fonksiyon;
    4.x-2(x-1) olacaktır.

    Soruda, k tane masa etrafına yerleştirilebilen sandalyelerin numaraları toplamı 351 olarak verilmiş. Sandalye numaraları dizisi 1 den başlayarak devam eden pozitif tamsayılar olduğu için sandalye sayısı şu şekil bulunur.
    1+2+3+...+n=351
    n(n+1)=2.351
    n.(n+1)=26.27
    n=26 | Bu sayı son sandalye numarasını; yani oturan kişi sayısını verir.

    Oturan kişi sayısı= 4.x-2(x-1) olduğunu bulmuştuk.

    26=4.k-2(k-1)
    26=4.k-2.k+2
    2.k=24
    k=12


    2)

    Çözüm-2)
    30 gibi küçük sayı ile genel formülleri çıkarmaya çalışalım.

    30 a kadar olan çift sayıların adedi;
    30-2
    2
    +1=15



    Sayma çift sayılarında baştan 15. sayı;
    n.(n+1)
    2
    =15



    n.(n+1)=30=5.6

    n=5

    30; n. yani 5. satırın son elemanıdır.

    n. satırın n. yani son elemanı = n.(n+1)

    n. satırın ilk elemanı ise (n-1). satırın son elemanının 2 fazlasıdır.

    n. satırın ilk elemanı = (n-1).(n-1+1)+2=n(n-1)+2

    426 ya yakın bir sayı seçelim; 420

    420=20.21 ---> 20. satırda. Fakat 426, +6 daha büyük o halde bir alt satırda (21. satır)olmalı.


    21. satırın ilk elemanı ile son elemanı bulunmalı;

    21. satırın ilk elemanı = 20.21+2=422
    21. satırın son elemanı= 21.22= 462

    21. satırdaki elemanlar 422,424,426, ... , 460,462

    A seçeneği bu değerler arasında yoktur.

    3)

    Çözüm-3)
    İlk üç hamlede rahatlıkla eksik sayılar bulunabiliyor. Açık mavi altıgende 4 ün sağındaki ya da 5 in altındaki komşu eşkenar üçgenlere 1 veya 6 nın gelmesi lazım. O halde ? ni içeren kırmızı altıgende 1,3,4,5,6 kullanılabilir. Bunların arasında 2 bulunmadığında ?=2 olmalıdır.

    4)

    Çözüm-4)
    1 ................ b --->1. satır
    b+1 ............2b --->2. satır
    2b+1 ..........3b --->3. satır
    3b+1 ..........4b --->4. satır


    Ardışık satırlardaki (3 ve 4) sayılardan yola çıkarak bir satırda kaç sütun var bulunabilir.

    17 sayısı 3. satır ise 2b+1 ile 3b arasındadır (dahil).

    2b+1≤ 17 ≤ 3b

    2b+1≤ 17
    2b≤ 16
    b≤ 8

    17 ≤ 3b
    5,..≤ b

    5,..≤ b ≤ 8

    b₁ ={6,7,8}


    29 sayısı 4. satırda ise 3b+1 ile 4b arasındadır (dahil).

    3b+1≤ 29 ≤ 4b

    3b+1≤ 29
    3b≤ 28
    b≤ 9,..

    29 ≤ 4b
    7,..≤ b

    7,..≤ b ≤ 9,..

    b₂ ={8,9}

    b₁∩b₂=8 | Sütun sayısı b=8'dir.

    8.8=64'tür. 65 son satırda ise 9 satırlıdır.

    Tablo;
    1,..............,8
    9,..............,16
    17,............,24
    ...................
    65,.............,72

    8. sütundaki sayılar ; 8,16,24,...,72

    Toplamları= 8+16+24+...+72

    (
    72-8
    8
    +1)(
    72+8
    2
    )=360



    Kaynakça:http://www.bireyegitimyayinlari.com/kitaplar/ornek_sayfalar/KTP-1371449988/KTP-1372076698.jpg
    ...

  3. #3

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    eline koluna sağlık çok güzel olmuş
    Taş kırılır ,Tunç erir.Ama Türklük ebedidir.
    Mustafa Kemal ATATÜRK

    Biyomedikal Mühendisliği

  4. #4

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    eline sağlık zahmet etmişsin.

  5. #5

    Grubu
    Moderatör
    İş
    11. sınıf
    Adam üşenmiyor yazıyor yahu
    Eline koluna sağlık,fevkalade güzel olmuş.

  6. #6

    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Elinize sağlık. Çok güzel olmuş.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Yamuk 5 Soru( Orta ve İleri Düzey)
    Ebeci bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 3
    Son mesaj : 19 Eki 2014, 15:11
  2. Temel Kavramlar (İleri Eğitim Grb.)
    Furkan61 bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 29
    Son mesaj : 01 Eki 2014, 09:33
  3. İntegral (ileri düzey)
    gizeeemm bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 11 May 2014, 23:31
  4. Temel Kavramlar Soruları Çözümleri (10 adet)
    duygu95 bu konuyu Çözümlü Matematik Soruları forumunda açtı
    Cevap: 7
    Son mesaj : 10 Eyl 2012, 17:10
  5. Temel Kavramlar Soruları Çözümleri
    korkmazserkan bu konuyu Çözümlü Matematik Soruları forumunda açtı
    Cevap: 4
    Son mesaj : 08 Mar 2012, 23:33
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları