Temel Kavramlar İleri Düzey Sorular ve Çözümleri

Soru - 1)

y=

x²+6x+10

x+2

olduğuna göre, y nin alabileceği farklı pozitif tam sayı değerleri kaç tanedir?(0,1,2,3,4)
Çözüm - 1)

y=

x²+6x+10

x+2

=

x²+4x+4+2x+4+2

x+2

=

(x+2)²+2(x+2)+2

x+2

=x+2+2+

2

x+2

=x+4

2

x+2

y nin ve x in tamsayı olduğu soruda verilmiş. O halde y nin tam sayı çıkması için 2/(x+2) ifadesinin tam sayı olması gerekir. O halde paydadaki x+2, ikinin tam böleni olmalıdır.

x+2'nin alabileceği değerler ; 2,-2,1,-1'dir.
x'in değerleri ; 0,-4,-1,-3'tür.

x= 0 ---> y= 5
x= -4 ---> y= -1
x=-1 ---> y= 5
x=-3 ---> y=-1

y : {-1,5} fakat -1∉Z⁺ o halde; y : {5} s(y)=1 tanedir.

Soru - 2)
a ve b pozitif tamsayılardır.
3a+5b=105
olduğuna göre 8a+5b nin en büyük değeri kaçtır?(200,214,235,255,310)
Çözüm - 2)
İstenen ifadede (8a+5b) a değeri b ye göre büyük seçilmelidir. Çünkü büyük değer; büyük değer ile çarpıldığında daha hızlı büyüyecektir.
a nın maximum değeri 35 tir. Ancak a değerinin 35 olarak aldığımızda b=0 olacaktır. Fakat soru bize pozitif tamsayı demiş. O halde 5b yi de göz önünde bulundurarak bir küçük değeri vermeliyiz. O da 35-5'ten 30 olacaktır.(a; 5in katı olmalı. Çünkü 5b ile 3a toplandığında 5 in katı elde ediliyor.)

3a+5b=105=90+15
3a=90 ---> a=30
5b=15 ---> b=3

8a+5b=8.30+5.3=240+15=255 olarak bulunur.

Soru - 3)
x ve y doğal sayılardır.
69.59+x=y⁴
olduğuna göre, x+y'nin en küçük değeri kaçtır?(17,21,29,33,37)
Çözüm - 3)
Aman deyim 69.59'u çarpmayın.
69.59+x=(64+5).(64-5)+x=64²-5²+x=8⁴-25+x=y⁴
En küçük değer istendiği için x=25 diyerek; elde edilen tam 4. kuvvetli ifadeyi bozmamış olur ve y nin değerini azaltmış oluruz.
x=25 ise 8⁴=y⁴ ---> y=8
x+y=25+8=33 bulunur.

Soru - 4)
x,y,z birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
x+y.z=10
olduğuna göre, x.y+z ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?(26,25,24,22,20)
Çözüm - 4)
İstenen ifadede x.y+z gibi bir ifade var. En büyük değer istendiği için x ile y ye olabildiğince büyük ve birbirine yakın değerler verilmeli.
x=6
y=4
z=1
olarak seçilirse 6.4+1=25 olarak bulunur.

Soru - 5)
a,b,c birer tamsayı olmak üzere,
b²-a<c
olduğuna göre, a+b+c toplamı en az kaçtır?(0,1,2,3,4)
Çözüm - 5)
Toplamın en az değeri aranıyor. b²≥0 olacağından 0 nın olabildiğince küçük seçilmesi lazım ki; c de ona göre en küçük değeri alabilsin. Sıfır değerine yakın tamsayılar arasında dolaşılmalı.
b=-1 a=1 c=1 için minimum değer bulunur.
a+b+c=1-1+1=1

Soru - 6)
x,y,z sırasıyla ardışık çift sayılar ve y≠0 olmak üzere,

(x+y+z)²

xy+yz+xz+4

işleminin sonucu kaçtır?(1,2,3,4,5)
Çözüm - 6)
Çoğu kişi y için x+2, z için x+4 diyerek tek değişkene indiriyordur.Fakat öyle biraz uzun olabilir. x=y-2, z=y+2 dense daha iyi olur.
x=y-2
y
z=y+2 için işlem yapılırsa;

(x+y+z)²

xy+yz+xz+4

=

(y-2+y+y+2)²

(y-2).y+y(y+2)+(y-2)(y+2)+4

=

(3y)²

y²-2y+y²+2y+y²-2²+4

=

9y²

3y²

=3'tür.

Soru - 7)
a<b<c olmak üzere;
2a+5b+10c<103
olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?(4,5,6,7,8)
Çözüm - 7)
Soru biza a,b,c nin sayı kümesinin vermediği için a,b,c bütün sayılar olabilir. a değerinin en büyük değeri arandığı için b ve c reel sayı olduğundan a nın çok çok yakınında bir sayı olabilir. O halde b ve c yi a ya eşit gibi varsayalım.
2a+5a+10a<103
17a<103
a<6,...
En büyük tam sayı değeri istendiği için (a)max=6 bulunur.

Soru - 8)
n bir doğal sayı olmak üzere, 6 dan (4n+2) ye kadar olan çift sayıların toplamından , 2 den (4n+6) ya kadar olan çift sayıların toplamı çıkarıldığında sonuç -272 oluyor.
Buna göre, n kaçtır?(32,33,34,35,36)
Çözüm - 8)
6+8+10+...+4n+2
2+4+6+8+10+...+4n+2+4n+4+4n+6
-_____________________________
-2-4-8n-10=-272
-8n-16=-272
8n=256
n=32

Soru - 9)
n.(-2)^-m<0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A) n negatif ise m pozitif çift sayıdır.
B) n pozitif ise m negatif çift sayıdır.
C) n negatif ise m negatif çift sayıdır.
D) m tek sayı ise n pozitif tek sayıdır.
E) m çift sayı ise n negatif tek sayıdır.
Çözüm - 9)
n ile (-2)^-m ters işaretli olmalı ki çarpımlarının değeri <0 olsun.

(-2)^-m=

1

(-2)^+m

olacağından m tek için ifade negatif, m çift için ifade pozitif olur.

m=Tek ise n=Pozitif
m=Çift ise n=Negatif
İlk ifade D seçeneğinde vardır.

Soru - 10)
a,b,c birbirinden farklı negatif tamsayılar olmak üzere;

6

a

+

8

b

+

9

c

ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?(-23,-15,-13,-5,-3)
Çözüm - 10)
Negatif sayılar ve en küçük değer istendiği için en büyük pozitif değerleri bulup eksilisini almalıyız. a,b,c nin üçü de payda da O halde bize bu sayıların en büyük değerleri lazım. O da pay kısmındaki ifadelerin en büyük pozitif bölenleri; yani kendileridir. Bir de -1 ile çarpacaktık. O halde a,b,c değerleri;
a=-6, b=-8, c=-9
a+b+c=-6-8-9=-15

Soru - 11)
x,y ve (z+1) aralarında asal sayılardır.
x.y.(z+1)=54
olduğuna göre, x+y+z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?(12,13,14,16,17)
Çözüm - 11)
Aralarında asallıktan söz ediliyorsa bu sayılar tam sayılardır. O halde 54'ü çarpanlara ayırır, birbirine yakın değerleri x,y,z+1 e vererek toplamın en az değeri bulunur.
54=9.6=2.3.9
x=2,y=3,z=8(z+1=9 --> z=8)
x+y+z=2+3+8=13 olarak bulunur.

Soru - 12)
a^b, -b, c³ negatif tek sayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitif tek sayıdır?
A) a.b+c
B) a.c+b.a
C) a.b.c
D) (a.b+1)/c
E) a.b.c-3
Çözüm - 12)
-b negatif tek sayı ise; b pozitif tek sayıdır. a^b için b pozitif tek sayı ise; b aynı zamanda sayma sayısı olduğu için yokmuş gibi düşünülür a buradan tek bulunur. İşareti ise üs tek olduğu için negatif elde etmek için a da negatif olmalı. O halde a negatif tek sayıdır. c³ için 3 sayma sayısı olduğu için yokmuş gibi düşünülür. c buradan negatif tek olmalı.
a=-T, b=+T, c=-T
a.b.c=+T | Yanıt : C

Soru - 13)
x ve y birer tamsayı olmak üzere;
x²+y²≤10 koşulunu sağlayan kaç farklı (x,y) ikilisi vardır?(35,36,37,40,43)
Çözüm - 13)
x=0 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
x=1 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
x=-1 için y={-3,-2,-1,0,1,2,3} ---> 7 tane ikili
x=2 için y={-2,-1,0,1,2} ---> 5 tane ikili
x=-2 için y={-2,-1,0,1,2} ---> 5 tane ikili
x=3 için y={-1,0,1} ---> 3 tane ikili
x=3 için y={-1,0,1} ---> 3 tane ikili

7+7+7+5+5+3+3=21+10+6=37 tane ikili vardır.

Soru - 14)
x ve y doğal sayılardır.

x+y+1-

(x-y-1)!

(x-2-y)!

=42

olduğuna göre, y! sayısında kaç tane 3 çarpanı vardır?(10,9,8,7,6)
Çözüm - 14)

x+y+1-

(x-y-1)!

(x-2-y)!

=

(x-y-1).(x-y-2)!

(x-2-y)!

=(x+y+1)-(x-y-1)=42

x+y+1-x+y+1=42
2y+2=42
y=20

y!=20!=3^m.n
m nin maksimum değeri;
20/3=6
6/2=2
6+2=8 tane 3 çarpanı vardır.

Soru - 15)
1 den n ye kadar olan her tamsayı, kendi değeri adedine soldan sağa doğru yanyana yazılarak,
A=1223334444...n
şeklinde 28 basamaklı bir A sayısı oluşturuluyor.
Buna göre n sayısı kaçtır?(9,8,7,6,5)
Çözüm - 15)
Basamak sayılarına bakıldığında 1 tane 1, 2 tane 2, 3 tane 3 ,... devam ediyor. O halde;
1+2+3+...+n=28 denilebilir.
n.(n+1)=2.28
n.(n+1)=7.8
n=7 olarak bulunur.

Soru - 16)
a,b,c tamsayıdır.
a=2b-5=3c+2
a+b+c<120
olduğuna göre, c en çok kaçtır?(12,15,19,21,22)
Çözüm - 16)
a ile b yi c cinsinden yazalım.
a=3c+2

b=

3c+7

2

a+b+c=3c+2+

3c+7

2

+c Payda eşitlersen;

a+b+c=

6c+4

2

+

3c+7

2

+

2c

2

<120

11c+11<240
11c<229
c en çok 19 olmalıdır.

Soru - 17)
a+b+c, a+d, a+e
sayıları sırasıyla ardışık tamsayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden daima çifttir?
A)d-e
B)b+c-d
C)e-b-c
D)a+c
E)a+d+e
Çözüm - 17)
Ardışık sayılar ise;
T,Ç,T
Ç,T,Ç olmalıdır.

a+e-(a+b+c)=T-T=Ç
a+e-(a+b+c)=Ç-Ç=Ç

a+e-a-b-c=e-b-c daima çifttir.(C)

Soru - 18)
x,y,z sırasıyla ardışık pozitif tam sayılardır.
7.(x!+y!+z!)=8.8!
olduğuna göre, x+y+z kaçtır?(15,21,24,27,30)
Çözüm - 18)
x,y,z pozitif ardışık ise; tek değişkene indirilirse;
7.(x!+y.x!+z.y.x!)=8.8!
7.x!.(1+y+yz)=8.8!
7.x!.(1+(x+1)+(x+1).(x+2))=8.8!
7.x!.(1+x+1+x²+2x+x+2)=8.8!
7.x!.(x²+4x+4)=8.8!
7.x!.(x+2)²=8.8.7.6!
x!.(x+2)²=6!.(6+2)²
x=6, y=7, z=8
x+y+z=6+7+8=21

Soru - 19)
(a+4) ile (b-1) aralarında asal sayılardır.

a+b-2

5

=

a+1

3

olduğuna göre, a+b kaçtır?(-5,-1,2,3,5)
Çözüm - 19)
İçler >< Dışlar çarpımı yapılırsa;
3a+3b-6=5a+5
2a=3b-11
2a+8=3b-11+8
2(a+4)=3(b-1)

a+4=3
a=-1

b-1=2
b=3

a+b=-1+3=2 olarak bulunur.

Soru - 20)
1!.2!.3!. ... . 48! çarpımı aşağıdakilerden hangisi ile çarpılırsa sonuç tam kare olur?
A)48! B)44! C)32! D)30! E)24!
Çözüm - 20)
1!.2!.3!. ... . 48! ifadesindeki çarpanlar ikili ikili gruplandırılırsa;
(1!.2!).(3!.4!) ... . (47!.48!)
(1!.2.1!).(3!.4.3!). ... .(47!.48.47!)
((1!)².2).((3!)².4). ... .((47!)².48)
(1!)².(3!)². ... .(47!)².2.4.6. ... .48
(1!)².(3!)². ... .(47!)².2²⁴.1.2.3. ... .24
(1!)².(3!)². ... .(47!)².2²⁴.24!
Tam kare olması için 24! ile çarpılmalı.
(1!)².(3!)². ... .(47!)².2²⁴.24!.24!

1)
https://img560.imageshack.us/img560/5020/4nq.png
Çözüm-1)
Masa sayısı --> x olsun. Şimdi genel formül çıkarmak gerekecek.
x tane masa birleşmeseydi 4x kişi masaların çevresine oturacaktı. Fakat masalar birleştiğinde bu sayıda bir azalma meydana gelir. Bu azalma masa sayısı ile doğru orantılıdır. 2 masayı birleştirmek için masaların 1 kenarı birleştirilir. 3 masa için 2, 7 masa için 6, n masa için n-1.(Eline bak. 5 parmak; 4 aralık). Bu birleşen kenarlar ayrılsa idi her kenara bir kişi yani toplamda iki kişi oturacaktı. Birleşince bu kadar kişi ayakta kalıyor. O halde fonksiyon;
4.x-2(x-1) olacaktır.

Soruda, k tane masa etrafına yerleştirilebilen sandalyelerin numaraları toplamı 351 olarak verilmiş. Sandalye numaraları dizisi 1 den başlayarak devam eden pozitif tamsayılar olduğu için sandalye sayısı şu şekil bulunur.
1+2+3+...+n=351
n(n+1)=2.351
n.(n+1)=26.27
n=26 | Bu sayı son sandalye numarasını; yani oturan kişi sayısını verir.

Oturan kişi sayısı= 4.x-2(x-1) olduğunu bulmuştuk.

26=4.k-2(k-1)
26=4.k-2.k+2
2.k=24
k=12


2)
https://img713.imageshack.us/img713/5950/bqvw.png
Çözüm-2)
30 gibi küçük sayı ile genel formülleri çıkarmaya çalışalım.

30 a kadar olan çift sayıların adedi;

30-2

2

+1=15

Sayma çift sayılarında baştan 15. sayı;

n.(n+1)

2

=15

n.(n+1)=30=5.6

n=5

30; n. yani 5. satırın son elemanıdır.

n. satırın n. yani son elemanı = n.(n+1)

n. satırın ilk elemanı ise (n-1). satırın son elemanının 2 fazlasıdır.

n. satırın ilk elemanı = (n-1).(n-1+1)+2=n(n-1)+2

426 ya yakın bir sayı seçelim; 420

420=20.21 ---> 20. satırda. Fakat 426, +6 daha büyük o halde bir alt satırda (21. satır)olmalı.


21. satırın ilk elemanı ile son elemanı bulunmalı;

21. satırın ilk elemanı = 20.21+2=422
21. satırın son elemanı= 21.22= 462

21. satırdaki elemanlar 422,424,426, ... , 460,462

A seçeneği bu değerler arasında yoktur.

3)
https://img14.imageshack.us/img14/7655/sndm.png
Çözüm-3)
İlk üç hamlede rahatlıkla eksik sayılar bulunabiliyor. Açık mavi altıgende 4 ün sağındaki ya da 5 in altındaki komşu eşkenar üçgenlere 1 veya 6 nın gelmesi lazım. O halde ? ni içeren kırmızı altıgende 1,3,4,5,6 kullanılabilir. Bunların arasında 2 bulunmadığında ?=2 olmalıdır.

4)
https://img600.imageshack.us/img600/4946/do4.png
Çözüm-4)
1 ................ b --->1. satır
b+1 ............2b --->2. satır
2b+1 ..........3b --->3. satır
3b+1 ..........4b --->4. satır


Ardışık satırlardaki (3 ve 4) sayılardan yola çıkarak bir satırda kaç sütun var bulunabilir.

17 sayısı 3. satır ise 2b+1 ile 3b arasındadır (dahil).

2b+1≤ 17 ≤ 3b

2b+1≤ 17
2b≤ 16
b≤ 8

17 ≤ 3b
5,..≤ b

5,..≤ b ≤ 8

b₁ ={6,7,8}


29 sayısı 4. satırda ise 3b+1 ile 4b arasındadır (dahil).

3b+1≤ 29 ≤ 4b

3b+1≤ 29
3b≤ 28
b≤ 9,..

29 ≤ 4b
7,..≤ b

7,..≤ b ≤ 9,..

b₂ ={8,9}

b₁∩b₂=8 | Sütun sayısı b=8'dir.

8.8=64'tür. 65 son satırda ise 9 satırlıdır.

Tablo;
1,..............,8
9,..............,16
17,............,24
...................
65,.............,72

8. sütundaki sayılar ; 8,16,24,...,72

Toplamları= 8+16+24+...+72

(

72-8

8

+1)(

72+8

2

)=360

Kaynakça:http://www.bireyegitimyayinlari.com/kitaplar/ornek_sayfalar/KTP-1371449988/KTP-1372076698.jpg

eline koluna sağlık çok güzel olmuş

eline sağlık zahmet etmişsin.

Adam üşenmiyor yazıyor yahu :)
Eline koluna sağlık,fevkalade güzel olmuş.

Elinize sağlık. Çok güzel olmuş.