A={1,2,3,4,5,6} Kümesinin elemanları kullanılarak 6 basamaklı sayılar yazılacaktır.Bu sayıların kaç tanesin de tek sayılar artan biçimde dizilir ?
Bu soruyla ilgili bir kaç yolumuz var teker teker yazalım.
1.Yol
Toplamda 6 elemanımız var.Bu 6 eleman 6! kadar sıralanır.
3 tane de tek sayımız var bu sayılar da 3! kadar sıralanır.
Tek sayılarla yazılabilecek durumları inceleyelim.Bunlar ,
135
153
315
351
513
531 olmak üzere toplamda 6 tanedir.Bu 6 sayının sadece bir tanesinde tek sayılar artan biçimde sıralanır. O halde ,
6!.1/6 = 6!/6 = 6!/3! kadar sayıda tek sayılar artan biçimde sıralanır.
2.Yol
Bu yolumuzda tek sayılara xxx diyelim. O halde kümemiz (son durumda ) xxx246 şeklinde olacaktır.Toplamda (xleri özdeş gibi kabul edersek ) 6!/3! kadar dizilim yapılabilir.Xler artan bir biçimde dizileceğinden sadece 1-3-5 şeklinde dizilebilirler.O halde 6!/3!.1=6!/3! kadar dizilim yapılabilir.
3.Yol
Tek sayılar artan bir şekilde sıralanacak diye bir şart verilmiş.O halde ilk önce tek sayıları artan bir şekilde dizelim bakalım bu dizilimden sonraki 2 , 4, 6 sayıları kaç farklı dizilim yapabilir.
_ 1 _ 3 _ 5 _
İlk seçeceğimiz sayı için (örneğin 2 ) 4 farklı yerimiz var. _2_1_3_5_
İkinci seçeceğimiz sayı için 5 yerimiz var.
Üçüncü seçeceğimiz sayı için 6 yerimiz var. O halde toplamda 6!/3! kadar dizilim yapılabilir.
2) Özdeş beş top seçilecektir bu 5 top , {1,3,5,7,9} kümesinin içerisindeki rakamlar kullanılarak rakamlandırılacaklardır.Ancak , rakamlandırma yapıldıktan sonra toplar dizildiğinde rakamlar küçükten büyüğe doğru olacaktır.Buna göre kaç farklı dizilim yapılabilir ?
Elimizde özdeş 5 topumuz var , Kümenin elemanları kullanılarak toplamda 5! kadar dizilim yapılabilir.Yapılacak bu dizilimlerin toplam 1/5! kadarında sayılar artan biçimde tekrar edecektir.
O halde toplamda bu şartı sağlayan 5!.1/5! = 5!/5!=1 farklı dizilim yapılabilir.
3-A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 elemanı bulunur.
1 elemanlı = 1 ( 1 farklı)
2 elemanlı = 1 _ => C(4,1)=4
3 elemanlı = 1 _ _ => C(4,2)=6
4 elemanlı = 1 _ _ _ => C(4,3)=4
5 elemanlı = 1 _ _ _ _ => C(4,4)=1
+ _______________
Toplam da 16 tane olacaktır.
Neden sıralama yapmadık ? gibi bir soru sorarsanız.
2 elemanlı durum için , düşünelim.1'i yerleştirdik. Daha sonra geri kalan 4 sayıdan 1 ini seçtik.(4 farklı şekilde) Diyelim ki , 2 'yi seçtik.
1 2
2 1 aynımıdır ? Diye bir soru sorarsak.
Cevabımız evet olacaktır.Alt kümelerde sıralamanın önemi yoktur.Seçilen elemanların önemi vardır.
4-A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur , 2 bulunmaz? (Açıklamalı)
1 Elemanlı = 1 ( 1 tane)
2 elemanlı = 1 _ Geriye (2yi silersek) 3 eleman kalır.C(3,1)=3 tane
3 elemanlı = 1 _ _ Geriye (2yi silersek) 3 eleman kalır.C(3,2)=3 tane
4 elemanlı = 1 _ _ _ Geriye (2yi silersek) 3 eleman kalır.C(3,3)=1
+_____________
8 tane olacaktır.
Yukarıda açıkladığımız gibi , sıralamanın bir önemi yoktur.
5.A=(1,2,3,4,5,6) kümesinin 3 elamanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2den yanlız biri bulunur..?
1 Bulundurup 2 bulundurmayanlar için ,
3 elemanlı = 1 _ _ (2'yi seçmiyoruz.)C(4,2)=6
2 Bulundurup 1 bulundurmayanlar için ,
3 elemanlı = 2 _ _ (1i seçmiyoruz.)C(4,2)=6
6+6=12 Olacaktır.
6-B={1,2,3,4,5,6,7,8} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur ?
1 2 _ _ (Göründüğü gibi 2 satırımız kaldı.)Geriye ise 6 tane sayımız kaldı.Bu 6 sayıdan 2 tane seçip yerleştirirsek sonuca ulaşmış oluruz.
C(6,2)=6.5/2=15 olur.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7 -A={1,2,3,4,5,6} kümesinin alt kümelerinin kaçında 3 ya da 4 bulunur ?
3 ün bulunup 4 ün bulunmadığı durumlar ,
1 elemanlı = 3 ( 1 tane )
2 elemanlı = 3 _ ( 4 sayımızdan birini seçelim.) C(4,3)=4tane
3 elemanlı = 3 _ _ ( 4 sayımızdan iki tane ) C(4,2)=6 tane
4 elemanlı = 3 _ _ _ ( 4 sayımızdan 3 tane ) C(4,3)=4
5 elemanlı = 3 _ _ _ _ ( 4 sayımızdan 4 tane ) C(4,4) = 1
6 elemanlı = 3 _ _ _ _ _ ( Artık 4 sayımızdan 4 tane seçersek ) yine 5 elemanlı (aynı) kümeden elde etmiş olacağız.
+____________________
16 tane
Nasıl mı ?
Misal
5 Elemanlı
3 _ _ _ _ => _ _ _ _ yere 1,2,5,6 sayılarını yerleştirelim.Diyelim ki şöyle bir alt küme oluşturduk ;
3 _ _ _ _ => 3 1 2 5 6 ( Artık yazacağımız 6 elemanlı kümelerde de ) 1,2,5,6 harflerinden 4 üde bulunacağından yine aynı şeyi yapmış oluruz.
Yerleri değiştirilirse fark eder mi derseniz ?
6 Elemanlı
3 _ _ _ _ _ => 3 1 2 5 6 _ aynı şeyi yapmış olacağız hatta bir yer boş kalacak.
3 _ 3 1 2 5 6 bunu da yapsak yine aynı elemanları kullandık aynı alt kümeyi tekrar elde ettik.
Sonuca gelelim 3 rakamını bulundurup , 4 ü bulundurmadan 16 tane yazabildik.
Aynı şekilde sadece 4 ün bulunup 3 bulunmadığı da 16 tane durum vardır.
16.2=32 tane alt kümemiz vardır.
-------------------------------------------------------------------
Soru 8 - A={a,b,c,d,e} kümesinin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
En az 2 elemanlı dediğine göre , aradığımız alt küme sayıları şunlar olacaktır.
2 elemanlı
3 elemanlı
4 elemanlı
5 elemanlı
2 Elemanlı için ,
5 elemandan 2 tane seçeriz.C(5,2)=10
3 elemanlı için
5 Elemandan 3 tane seçeriz.C(5,3)=10
4 elemanlı için
5 elemandan 4 tane seçeriz C(5,4)=5
5 elemanlı için
5 elemandan 5 tane seçeriz. C(5,5)=1
+_________________________
Toplamda 26 tane olacaktır.
gökberk'den alıntı
