İşlem ve Modüler aritmetik

1) 7¹⁰+8¹⁰+9¹⁰+......+100¹⁰≡x (mod11) ise x kaçtır?

2) (((4⁵)⁴)⁵)⁴...... İfadesinin onlar basamağı kaçtır?

3) 12!≡x (mod13) olduğuna göre, x kaçtır?

4) Gerçek sayılar kümesinde,
a*b=(m−2)a+(2m−5)b−ab+K−3 işlemi tanımlanıyor. * işleminin birim elemanı varsa m+K toplamı kaçtır?

Yardımcı olursanız cok mutlu olurum, teşekkürler ))

4.) işlemin birim elemanının olması için değişme özeliğinin olması gerekir.

m-2=2m-5
m=3

a*b=a+b-ab+k-3 şeklinde olur işlemimiz.

NOT: x*y=ax+ay+bxy+c şeklinde ve de a.(a-1)=bc eşitliği sağlanıyorsa, birim elemanımız -c/a dır.

o halde, k için;

3-k=0 denebilir.
k=3 olur.

m+k=3+3=6 olur.

3.) 12!≡x(mod13) denkliğinde, 13 asal olduğundan, x=-1 dir ve de -1 de mod 13 e göre 12 ye denk olur.

2.)

4²≡16(mod100)
4³≡64(mod100)
4⁵≡24(mod100)
4¹⁰≡76(mod100)
4²⁰≡76(mod100)
...
...
...
...

(((45)4)5)4...... ≡76(mod100) olur.

1.) mod11 de 11 asal olduğundan,

7¹⁰≡1(mod11)
8¹⁰≡1(mod11)
9¹⁰≡1(mod11)
..
..
..

yalnız sadece 11 ve katlarında 1 e eşit olmayacak 0 olacaktır. 11,22,33,....99 dan gelmeyecek 1 leri çıkartırsak, (bunlar 9 adet olduğu için 9 çıkartırız)

94-9=85≡8(mod11) olur.

O asal modlarda kalana dogrudan 1 yazmanızın mantığı nedir?

Fermat Teoremine göre
p asalken a^p=a (modp) başka ifade edilişi a sayısı p ile bölünmüyorken a^(p-1)=1 (modp) dir

yani bu teoreme göre 11 ile bölünmeyen her sayının 10. kuvveti 1 dir.

Üçüncü soruda x=-1 nerden çıktı? Anlayamadım o kısmı

wilson teoreminden p asal sayı ise (p-1)! modp de -1'e denktir

Cok teşekkür ederim ellerinize saglık

Çözümlü Modüler Aritmetik Soruları
Tüm Etiketler