1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    Karmaşık Sayı Sorularım

    1) Arg(z₁³.z₂) = 180derece
    Arg(z₁.(z₂⁻¹)) = 270derece
    olduğuna göre, Arg(z₁) kaç radyandır?(3pi/4)

    2) 2|z| = |w| = 2
    Arg(z².w) = 104derece
    Arg(
    z
    w
    )=
    16derece

    olduğuna göre z9 + w5 kaçtır? (-15 + 16√3i)

    3) |z+2i|= √10 ve Arg(z) = 135derece olduğuna göre z karmaşık sayısı nedir? ( -1 + i )

    4) i = √-1
    z² = 15 + 8i karmaşık sayısının köklerinden biri nedir? (4+i , bu tür özel üçgenli soruları yapamıyorum hiç)

    5) a ve b birer reel sayıdır. z² = a+bi karmaşık sayısının köklerinden biri 1-√2i olduğuna göre ab çarpımı kaçtır? (2√2)

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    C-2
    |z|=1 , |w|=2
    Çarpım durumunda Argümentler toplanacaktır, 2a+w=104*
    z-w=16

    z=40* , w=24* çıkıyor sanırım.

    z=1.cis40* şeklinde
    w=2.cis24* şeklinde yazılabilir.
    De moivre teoremi gereği üsleri alırken katsayıların üssünü alın, argümentleri üs ile çarpın.
    Gerisi biraz işlem.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    1) Arg(z₁³.z₂) = 180derece
    Arg(z₁.(z₂⁻¹)) = 270derece
    olduğuna göre, Arg(z₁) kaç radyandır?(3pi/4)

    Karmaşık sayılarda eşlenik bulunurken imajiner kısmın işareti değiştirilir. Bu durumda karmaşık sayısının argümenti β iken 360-β olacaktır. Şimdi soruya bakalım.

    Arg(z₁)=a ve Arg(z2)=b olsun. Üslü işlemlerde üs açıyla çarpılarak işlem yapılacağından ve karmaşık sayılarda çarpma yapıldığında argümentler toplanacağından ;

    Arg(z₁³.z₂) = 3a+360-b=180
    Arg(z₁.(z₂⁻¹)) =a-b= 270 olmak üzere iki denklem elde edebiliriz. Buradan 2 bilinmeyenli denklem çözümü ile;
    a=-225 ve esas açı ölçüsünü bularak a=135 derece olarak culunur. Bu ifadenin radyan cinsinden değeri 3∏/4 tür.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    3) |z+2i|= √10 ve Arg(z) = 135derece olduğuna göre z karmaşık sayısı nedir? ( -1 + i )
    Karmaşık sayımız z=x+yi olsun.

    |z+2i|= √x²+(y+2)²=√10 olur
    Arg(z) = 135derece olduğu için z karmaşık sayısında y=-x diyebiliriz.

    x²+(y+2)²=10 ise x²+(-x+2)²=10 = 2x²-4x-6=0 x buradan 3 ve -1 olarak bulunur ancak karmaşık sayımız 2. bölgede olduğundan ( Arg(z) = 135derece) xin negatif değerini alacağız. Bu durumda y=1 ve x=-1 olacaktır yani karmaşık sayımız;

    z= -1 + i olur.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    4) i = √-1
    z² = 15 + 8i karmaşık sayısının köklerinden biri nedir? (4+i)
    z=x+yi için işlem yapalım. Bu durumda

    z²=x²+2xyi-y²=15+8i olacaktır. x²-y²=15 ve 2xy=8 olmalıdır.
    2xy=8 ise x=4/y olarak ilk eşitlikte yerine yazılabilir. Bu durumda;

    (16/y²)-y²=15 y⁴+15y²-16=0 dan y² -16 ve 1 olarak bulunur.Ancak y² nin pozitif değerini almamız gerektiğinden y²=1 olarak bulunur. Burada y nin iki değeri vardır.Bu nedenle iki farklı karmaşık sayı bulunacaktır. Bunlar;

    y=1 için x=4 ten 4+i ve
    y=-1 için x=-4 ten -4-i karmaşık sayılarıdır.

    Bu durumda cevabımız 4+i veya -4-i dir.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    5) a ve b birer reel sayıdır. z² = a+bi karmaşık sayısının köklerinden biri 1-√2i olduğuna göre ab çarpımı kaçtır? (2√2)

    z=x+yi için işlem yapalım.
    z²=x²+2xyi-y²=a+bi ise x²-y²=a ve 2xy=b dir. Burada x ve y değerleri soruda bize 1-√2i den x=1 ve y=-√2 olarak verildiğinden değerler yerine yazılırsa;

    b=-2√2 ve a=1-2=-1 olarak bulunur. Bu durumda ab=-1.-2√2=2√2 olarak bulunur.


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Karmaşık Sayılar ve Trigonometri Sorularım
      crOn, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 0
      : 11 Nis 2015, 14:49
    2. karmaşık sayı ve logaritma sorularım
      buki, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 4
      : 19 Eki 2014, 23:05
    3. karmaşık sorularım var :3
      buki, bu konuyu "11. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 17 Eki 2014, 12:52
    4. Sayı sorularım
      mmorwen, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 6
      : 04 Tem 2013, 02:02
    5. Karmaşık Sayılardan Sorularım
      weburhan, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 9
      : 31 May 2012, 10:14
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları