Karmaşık Sayı Sorularım

1) Arg(z₁³.z₂) = 180derece
Arg(z₁.(z₂⁻¹)) = 270derece
olduğuna göre, Arg(z₁) kaç radyandır?(3pi/4)

2) 2|z| = |w| = 2
Arg(z².w) = 104derece

Arg(

z

w

)=

16derece

olduğuna göre z⁹ + w⁵ kaçtır? (-15 + 16√3i)

3) |z+2i|= √10 ve Arg(z) = 135derece olduğuna göre z karmaşık sayısı nedir? ( -1 + i )

4) i = √-1
z² = 15 + 8i karmaşık sayısının köklerinden biri nedir? (4+i , bu tür özel üçgenli soruları yapamıyorum hiç)

5) a ve b birer reel sayıdır. z² = a+bi karmaşık sayısının köklerinden biri 1-√2i olduğuna göre ab çarpımı kaçtır? (2√2)

C-2
|z|=1 , |w|=2
Çarpım durumunda Argümentler toplanacaktır, 2a+w=104*
z-w=16

z=40* , w=24* çıkıyor sanırım.

z=1.cis40* şeklinde
w=2.cis24* şeklinde yazılabilir.
De moivre teoremi gereği üsleri alırken katsayıların üssünü alın, argümentleri üs ile çarpın.
Gerisi biraz işlem.

1) Arg(z₁³.z₂) = 180derece
Arg(z₁.(z₂⁻¹)) = 270derece
olduğuna göre, Arg(z₁) kaç radyandır?(3pi/4)

Karmaşık sayılarda eşlenik bulunurken imajiner kısmın işareti değiştirilir. Bu durumda karmaşık sayısının argümenti β iken 360-β olacaktır. Şimdi soruya bakalım.

Arg(z₁)=a ve Arg(z₂)=b olsun. Üslü işlemlerde üs açıyla çarpılarak işlem yapılacağından ve karmaşık sayılarda çarpma yapıldığında argümentler toplanacağından ;

Arg(z₁³.z₂) = 3a+360-b=180
Arg(z₁.(z₂⁻¹)) =a-b= 270 olmak üzere iki denklem elde edebiliriz. Buradan 2 bilinmeyenli denklem çözümü ile;
a=-225 ve esas açı ölçüsünü bularak a=135 derece olarak culunur. Bu ifadenin radyan cinsinden değeri 3∏/4 tür.

3) |z+2i|= √10 ve Arg(z) = 135derece olduğuna göre z karmaşık sayısı nedir? ( -1 + i )
Karmaşık sayımız z=x+yi olsun.

|z+2i|= √x²+(y+2)²=√10 olur
Arg(z) = 135derece olduğu için z karmaşık sayısında y=-x diyebiliriz.

x²+(y+2)²=10 ise x²+(-x+2)²=10 = 2x²-4x-6=0 x buradan 3 ve -1 olarak bulunur ancak karmaşık sayımız 2. bölgede olduğundan ( Arg(z) = 135derece) xin negatif değerini alacağız. Bu durumda y=1 ve x=-1 olacaktır yani karmaşık sayımız;

z= -1 + i olur.

4) i = √-1
z² = 15 + 8i karmaşık sayısının köklerinden biri nedir? (4+i)
z=x+yi için işlem yapalım. Bu durumda

z²=x²+2xyi-y²=15+8i olacaktır. x²-y²=15 ve 2xy=8 olmalıdır.
2xy=8 ise x=4/y olarak ilk eşitlikte yerine yazılabilir. Bu durumda;

(16/y²)-y²=15 y⁴+15y²-16=0 dan y² -16 ve 1 olarak bulunur.Ancak y² nin pozitif değerini almamız gerektiğinden y²=1 olarak bulunur. Burada y nin iki değeri vardır.Bu nedenle iki farklı karmaşık sayı bulunacaktır. Bunlar;

y=1 için x=4 ten 4+i ve
y=-1 için x=-4 ten -4-i karmaşık sayılarıdır.

Bu durumda cevabımız 4+i veya -4-i dir.

5) a ve b birer reel sayıdır. z² = a+bi karmaşık sayısının köklerinden biri 1-√2i olduğuna göre ab çarpımı kaçtır? (2√2)

z=x+yi için işlem yapalım.
z²=x²+2xyi-y²=a+bi ise x²-y²=a ve 2xy=b dir. Burada x ve y değerleri soruda bize 1-√2i den x=1 ve y=-√2 olarak verildiğinden değerler yerine yazılırsa;

b=-2√2 ve a=1-2=-1 olarak bulunur. Bu durumda ab=-1.-2√2=2√2 olarak bulunur.