Karmaşık Sayılar 3 tane soru

1.soru Baş katsayısı 2 olan, 1-i ve i kompleks sayılarını kök kabul eden dördüncü
dereceden gerçel kat sayılı p(x) polinomu için p(1) kaçtır? Cvp:4


2.soru a ile b gerçek sayı olmak üzere, a<0 dır. i²=-1 olmak üzere
b√a+√-a=4+10i-bi olduğuna göre a-b=? Cvp:12



3.soru z=(3+ai)/a-i z.z(eşlenik)=3 a hangisi olabilir?

A.)-2 B.)-√3 C.)-√2 D.)1 E.)3

1) Gerçel katsayılı bir polinomda z=a+ib gibi bir karmaşık sayı kök ise bunun eşleniği olan z=a-ib de bir köktür. Bu durumda bize aslında dördüncü derece polinomun 4 kökü de verilmiş durumdadır ve bu kökler 1+i, 1-i, i ve -i dir. Baş katsayı da 2 olarak verildiği için polinom P(x)=2(x-1+i)(x-1-i)(x-i)(x+i) dir. Buradan P(1)=2(i)(-i)(1-i)(1+i) = 4 bulunur.

2) a<0 olduğu için √a= i √-a dır. Verilen eşitlikten

b√a+√-a=4+10i-bi
ib√-a+√-a=4+10i-bi

buradan da √-a=4 ve b√-a=10-b elde edilir. Sonuç olarak a=-16 ve b=2 bulunur. a-b=-18 olur. (Cevap şıklarını tekrar kontrol edin lütfen.


3) z.z = |z|² olduğunu biliyoruz. Verilenlerden |z|²=3 bulunur.
z=(3+ai)/(a-i) olduğu için |z|²= |3+ai|²/|a-i|² = (9+a²)/(a²+1) olur.

Yani (9+a²)/(a²+1)=3 ve buradan da a=√3 veya a=-√3 bulunur.

Aklınıza sağlık hocam.

teşekkür ederim,emeğinize sağlık