Alparslan Doğan 03:05 11 Mar 2011 #1
√2 nin rasyonel sayı olmadığını ispatlayınız.
Çelişki bulma yoluyla ispatlayalım;
√2 rasyonel bir sayı olsun,
a = b√2 her iki tarafında karesini alalım;
a2 = 2b2
Bu durumda a çifttir. Yani k ∈ Z olma üzere a = 2k şeklinde yazılabilir;
a² = 2b²
(2k)² = 2b²
4k² = 2b²
b² = 2k²
b = 2t
b yide çift bulduk. a ve b nin çift olması bu sayıların aralarında asal olmasıyla çelişir. Bu çelişki √2 rasyonel sayı kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır. O halde √2 rasyonel sayı değildir.
√2 rasyonel bir sayı olsun,
Bu durumda a ve b aralarında asal olmak üzere √2=
a
b
şeklinde yazılabilir
a
b
= √2
a = b√2 her iki tarafında karesini alalım;
a2 = 2b2
Bu durumda a çifttir. Yani k ∈ Z olma üzere a = 2k şeklinde yazılabilir;
a² = 2b²
(2k)² = 2b²
4k² = 2b²
b² = 2k²
b = 2t
b yide çift bulduk. a ve b nin çift olması bu sayıların aralarında asal olmasıyla çelişir. Bu çelişki √2 rasyonel sayı kabul edilmesinden kaynaklanmaktadır. O halde √2 rasyonel sayı değildir.
Benzer bir yöntemle şu teorem de ispatlanabilir: Bir tamsayının karekökü ya bir tamsayıdır ya da irrasyonel bir sayıdır.