1. #1

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Özel matematik sorusu

    x+y+z=1
    x²+y²+z²=3
    x³+y³+z³=10

    x10+y10+z10=?

  2. #2

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    Bu sorunun özünü daha önce vermiştim. Aradım ama bulamadım. Yeniden yazayım:

    Kökleri x, y, z olan üçüncü derece polinom P(t) olsun. Yani P(t)=t3+At2+Bt+C = (t-x)(t-y)(t-z) olsun.

    A = -( x+y+z ) = -1 dir.

    B= xy + xz + yz = [(x+y+z)2-(x2+y2+z2)]/2 = (12-3)/2 = -1 dir.

    x, y, z sayıları P(t) nin kökleri olduğuna göre P(t)=0 denklemini sağlarlar:

    x3+Ax2+Bx+C = 0
    y3+Ay2+By+C = 0
    z3+Az2+Bz+C = 0

    Bunları taraf tarafa toplarsak 10+3A+B+3C=0 ve buradan da C=-2 olur.

    Yani P(t)=t3-t2-t-2 dir. Ya da

    x3-x2-x-2 = 0
    y3-y2-y-2 = 0
    z3-z2-z-2 = 0

    Bu denklemleri sırasıyla x, y, z sayıları ile çarparsak

    x4-x3-x2-2x = 0
    y4-y3-y2-2y = 0
    z4-z3-z2-2z = 0

    bulunur ve bunları taraf tarafa toplarsak

    x4+y4+z4 = (x3+y3+z3) + (x2+y2+z2) + 2(x+y+z) = 15 olur.

    Benzer şekilde diğer kuvvetlerin toplamı da bulunur.

    Ya da her n pozitif tam sayısı için f(n)=xn+yn+zn dersek f(1) = 1, f(2)=3, f(3)=10 olduğunu biliyoruz. Bizden f(10) değeri isteniyor.

    x3-x2-x-2 = 0
    y3-y2-y-2 = 0
    z3-z2-z-2 = 0

    eşitlikleri bulunduktan sonra bu eşitlikler sırasıyla xn, yn ve zn sayılarıyla çarpılıp toplanırsa

    f(n+3) = f(n+2) + f(n+1) + 2f(n) buluruz.

    f(4) = f(3) + f(2) + 2f(1) = 15,
    f(5) = f(4) + f(3) + 2f(2) = 31,
    f(6) = f(5) + f(4) + 2f(3) = 66,
    f(7) = f(6) + f(5) + 2f(4) = 127,
    f(8) = f(7) + f(6) + 2f(5) = 255,
    f(9) = f(8) + f(7) + 2f(6) = 514,
    f(10) = f(9) + f(8) + 2f(7) = 1023 olur.

  3. #3

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Çok teşekkür ederim öyleyse bu yöntemi a+b=1 , a²+b²=2 , a7+b7=?
    gibi sorularda da kullanabiliriz.

  4. #4

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Diğer
    Rica ederim. Kesinlikle kullanabilirsiniz.

    Bu arada ilk soru için P(t) polinomu (t-2)(t2+t+1) şeklinde çarpanlara ayrıldığı için köklerden biri x=2 dir. Diğerleri y=t1 ve z=t2 olursa y+z=-1 dir. (y ve z açık bulunabilir ama gerekli değil).

    y2+y+1=0 olduğu için y3=1 ve y10=y olur. Benzer şekilde z10=z dir.

    Yani

    x10+y10+z10=210+y+z=1024-1=1023 bulunur.


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. Özel Bir Matematik sorusu
    orhunal bu konuyu Lise Olimpiyat Soruları forumunda açtı
    Cevap: 5
    Son mesaj : 15 Nis 2014, 23:09
  2. Özel Bir Matematik Sorusu
    cehennemlikadam bu konuyu Özel Matematik Geometri forumunda açtı
    Cevap: 3
    Son mesaj : 27 Şub 2014, 03:54
  3. özel matematik ve geometri
    korkmazserkan bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 6
    Son mesaj : 15 Ağu 2011, 14:53
  4. özel matematik sorusuu
    mert07 bu konuyu Özel matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 9
    Son mesaj : 06 May 2011, 02:09
  5. özel matematik
    duncanduncan bu konuyu 7. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 3
    Son mesaj : 12 Oca 2011, 02:41
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları