[algan]

1. (11)³+(11)⁴ sayısının asal bölenlerinin sayısı kaçtır ?

2. 8!−7! toplamının kaç tane asal olmayan tam böleni vardır ?

3. 108 ile 720 sayılarının ortak bölenlerinin sayısı kaçtır ?

4. 10000 sayısının tam bölenlerinin kaç tanesi 5 ile tam bölünmez ?

5. Ardışık iki pozitif tamsayının obeb ve okeklerinin toplamı 57 dir. Buna göre küçük sayı kaçtır ?

[Attalos]

1) (11)³+(11)⁴=(11)³[1+11]=11³.12=2².3.11³ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olur. Buradan 3 farklı asal böleni olduğu görülür.


--------------


2) 8!-7!=7!(8-1)=7.7! olacaktır. İfade 7.(1.2.3.4.5.6.7) olarak yazılır ve 2⁴.3².5.7² olarak düzenlenirse tüm bölenleri 2.5.3.2.3=180 bulunur. Bunlardan 2,3,7 olmak üzere 3 tanesi asaldır. Toplamda 177 tane asal olmayan böleni vardır.


--------------


3) 108=2².3³ , 720=2⁴.3².5 olarak asal çarpanlarına ayrılır. Bu iki ifade için ortak olan çarpanların 2².3² olduğu görülür. Bu çarpanlarla oluşturulabilecek 2.3.3=18 tane ortak bölen var.


--------------


4) 10000=2⁴.5⁴ olarak asal çarpanlarına ayrılır. 5'e bölünmeyen bölenleri içlerinde 5 çarpanlarını barındırmazlar. Bizde burada 5 çarpanlarının hiçbirini kullanmadan oluşturabileceğimiz bölenleri bulacağız. 5 çarpanları hariç sadece 2 çarpanı var ve 4 tane var. 4 tane 2 çarpanıyla yani 2⁴ ile 2.5=10 tane 5'e bölünemeyen bölen vardır.


--------------


5) a ve a+1 olsun bu sayılar. Ardışık sayıların OBEB'leri daima 1 olur. OKEK'leri ise bu sayıların çarpımları olur. OBEB(a,a+1)=1 , OKEK(a,a+1)=a(a+1) olacaktır. OBEB ve OKEK'lerin toplamı 57 verilmiş. a²+a+1=57 , a²+a-56=0 ve a'nın pozitif değeri buradan 7 gelir. a=7 gelir. Bu zaten küçük sayıdır, dolayısıyla cevaptır.