Küpkökünden küçük tüm pozitif tamsayılara bölünebilen en büyük sayıyı belirleyiniz.
Küpkökünden küçük tüm pozitif tamsayılara bölünebilen en büyük sayıyı belirleyiniz.
420 diyorum ama sistem çok kısa diyor. İstenen koşulu sağlayan en büyük sayı 420 deseme her halde sistem sorun çıkarmaz.
o şekilde yazarsanız sistem sorun çıkarmaz fakat bu seferde sayın gereksiz yorumcu sorun çıkarır şöyleki;
neden 421 yada daha büyük olamaz?
Sadece "420" yazınca sistem çok kısa cevap dedi de ona biraz güldümYa bu en büyük sayı dedim inanmadı sistem. Tabii ki kanıt gerekiyor; kuru kuruya 420 demek yetmez ama belki biraz düşünülür diye yazmadım. Bu arada benim de toparlamam gerekiyor.
n³<x<(n+1)³ olsun öyleyse x 1,2...n'e yani ekok(1,2,3,....,n) e bölünmelidir. ekok(1,2,3,....,n)<(n+1)3 olmalıdır eğer n>7 olursa ekok(1,2,3,....,n)>(n+1)3 olur öyleyse n en fazla 7 olabilir eğer n=7 olursa ekok(1,2,......7)=420 olduğu için x=420. ama neden n>7 için ekok(1,2,3,....,n)>(n+1)3 olduğunu göstermek lazım.
evet cevap 420 hocam
bunu gösterebilirseniz ,göstermesi pek zor gibi durmuyor, güzel bir çözüm çıkacağına inanıyorum. sizi sınırlamayayım farklı çözümler mevcut.sentetikgeo'den alıntı
benim çözümüm biraz farklıydı ama bu ekok meselesi daha güzel göründü
şöyle bi ipucu verebilirim, ardışık 4 veya 5 sayının ekokuna bakabilirsiniz , en az ne olabilirler?
benim ilk aklıma gelen tümevarım oldu işlem hatası yada mantık hatası olabilir kontrol edin başka gösterim yollarıda olabilir tabiki
n=8 için doğru olduğunu görüyoruz denedik
n≥8 için doğru kabul edelim n+1 için ispatlayalım
yazılışı kısaltması için EKOK(2,3,4,...n)=en olarak yazacağım
en>(n+1)3 kabul ettik
şimdi göstereceğimiz en+1>(n+2)3
birleşim(U) özelliğinden en+1=en U(n+1)=[en.(n+1) ] / en ∩ (n+1)
şunuda not edelim en ∩ (n+1) ≤ (n+1) / 2
buradan en+1≥(n+1)3.(n+1) / [(n+1)/2] yada kısaca
en+1 ≥ 2(n+1)3
şimdi bitirmek için eğer 2(n+1)3≥(n+2)3 gösterirsek ki n≥8 için kolayca eşitsizliğin doğruluğu görülüyor
(n3-6n-6>0)
demekki n≥8 için iddamız doğru (umarım doğrudur
hocam burada bir sıkıntı yok mu?
mesela e11=e12 dir.
verdiğim ipucu ile sizleri yönlendirmiş gibi oldum sanırım, özür dilerim.
sentetikgeo kardeşimizin yorumundan sonra aklımdakinden daha kısa bir çözüm gördüğüm için böyle yazmştım.
kastettiğim de 4 ardışık sayının ekokunun çarpımlarının 1/6 sından (5 tanesinin de 1/24 ünden) az olamayacağıydı.
Aradığımız sayı x olsun. n sayısı da n3≤x<(n+1)3 koşulunu sağlasın. EKOK(2,3,...,n) | x olduğunu biliyoruz.
n>12 için
EKOK(2,3,...,n) ≥ n(n-1)(n-2)(n-3)/6 > (n+1)3>x olduğu için n≤12 olmak zorundadır. Yani x<133=2197 olmak zorundadır.
n≥8 için 5.6.7.8=1680 sayısı x in bir böleni olmalıdır. 1680>93 olduğu için 9 da x i bölmelidir. Bu durumda x sayısı 5.7.8.9=2520 nin bir tam katı olmalıdır. x<2197 olduğu için bu mümkün değildir.
n<8 olmalıdır.
n=7 için x sayısı EKOK(2,3,...,7)=420 nin bir katı olmalı ve x<83=512 olmalıdır. Bu koşula uyan en büyük sayı 420 dir.
Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
