[besra]

euler formülü ve de moivre formülünün ispatlarını istiyorum

[Serkan A.]

bunun mu?
yoksa

bunu mu ispatı?
İlki özdeşliği ikincisi formülü diye geçerde.

[Alp]

Aslında sormak istediği e^iπ+1=0 ise Hocamızın verdiği formülden bu özdeşliğe ulaşabiliriz.
ise

olur.
Aslında bu formül muazzam bi formüldür.Pozitif bir sayının üssünü -1 e eşitleyen bir formüldür.Bu nasıl olur diye düşünmemeliyiz.Çünkü reel eksende işlem yapmıyoruz burada.
Aynı şekilde ln(-1)=iπ olur. Burdada tanımlı olamaz diyemeyiz.

[Alp]

de moivre için ise şöyle bir şey buldum,



euler formülünden,

(de moivre formülü)

[gereksizyorumcu]

i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
(cosx-isinx)e^ix ifadesinin x e göre türevini alalım

=(cosx-isinx)'.e^ix+(cosx-isinx).(e^ix)'
=(-sinx-icosx).e^ix+(cosx-isinx).i.e^ix
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
=0

bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
x=0 için değeri 1 olduğuna göre
(cosx-isinx)e^ix=1 her zaman sağlanmalıdır.

eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
(cos²x-i²sin²x)e^ix=cosx+isinx
(cos²x+sin²x)e^ix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
e^ix=cosx+isinx=cisx olur.

[Alp]

i sayısının x e göre bir sabit olmasından hareketle
(cosx-isinx)e^ix ifadesinin x e göre türevini alalım

=(cosx-isinx)'.e^ix+(cosx-isinx).(e^ix)'
=(-sinx-icosx).e^ix+(cosx-isinx).i.e^ix
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx-i²sinx)
=e^ix.(-sinx-icosx+icosx+sinx)
=0

bu ifadenin türevi sıfırmış yani sabit fonksiyonmuş yani her x değeri için aynı değeri alıyormuş
x=0 için değeri 1 olduğuna göre
(cosx-isinx)e^ix=1 her zaman sağlanmalıdır.

eşitliği (cosx-isinx)'in eşleniği olan (cosx+isinx) ile çarparsak
(cos²x-i²sin²x)e^ix=cosx+isinx
(cos²x+sin²x)e^ix=cosx+isinx , her x için (cos²x+sin²x)=1 olduğundan
e^ix=cosx+isinx=cisx olur.

İspatıda formül kadar güzelmiş hocam ellerinize sağlık.

[dxdiag]

konu için biraz geç olduğunun farkındayım ama yeni bir başlık açmayayım dedim

e^x = x⁰/0!+x¹/1!+x²/2!+x³/3!... + xⁿ/n! + .. olduğunu e sayısının tanımından biliyoruz
eğer cos ve sin fonksiyonlarının taylor seri açılımınlarını alırsanız
cosx=1-x²/2!+x⁴/4!..=(-1)ⁿ 2n/(2n)!+++
sinx =x-x³/3!+..+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!+...
ve
iⁿ = için
n = 4k = 1
n = 4k+1 = i
n= 4k+2 =-1
n = 4k+3 = -i oldugunu biliyoruz(k 0,+sonsuza kadar bütün reel sayılar)
o halde
e^ix yazarsak şu açılımı elde ederiz
e^ix= 1+ix-x²/2!...
yukarıdaki sinx ve cosx tanımlamalarımızı ele alırsak
e^ix = 1-x²/2!+x⁴/4!..+(-1)ⁿ 2n/(2n)!+.. + i*(x-x³/3!+..+(-1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!...
olacagını görebiliriz
ki buda
e^ix = cosx+isinx i getirir.