1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    çözemediğim bir integral ispat sorusu

    olduğunu gösteriniz

    binom açılımı yapıp ifadeyi açtım integralini alıp yerine sınır değerlerini koydum işlem hatam yoksa çok yaklaştım (tabi bu yol doğruysa) ancak bir türlü paydayı eşitleyip ifadeyi düzenleyemedim yardımcı olabilirseniz çok sevinirim

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    bu soruya da ancak şimdi bakabildim. bakıyorum büyük ihtimalle çözebilirim , çözünce yazarım.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Gamma ve Beta fonksiyonlarını biliyor musunuz?

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    Üniversite 1. sınıf öğrencisiyim derste şuanlık anlatılmadı onun için bilmiyorum ama tek çözüm yolu bahsettiğiniz gamma ve beta fonksiyonlarıyla ise siz çözün hocam ben araştırıp öğrenmeye çalışırım.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    yok tek çözüm yolu tabiki bu değildir ama ben öyle bir çözüm buldum o yüzden demek istemiştim
    yazayım siz karar verin

    Beta fonksiyonu şu şekilde tanımlanıyor


    ve Beta Fonksiyonuyla Gamma Fonksiyonu arasında şöyle bir ilişki var

    B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

    şimdi Betanın tanımında t=k², x=1/2 ve y=n+1 alalım

    bu durumda oluşan integral sizin yazdığınızın 2katı olur (dk²=2kdk yazdık)

    yani sorduğunuz değer
    =B(1/2,n+1)/2=(1/2)Γ(1/2)Γ(n+1)/Γ(n+1+1/2) oluyor

    tanım gereği Γ(n+1)=n! zaten
    Γ(1/2)=√∏
    Γ(n+1/2)=(√∏)(2n)!/(4n.n!)

    bunları yerine koyarsak
    sorulan integral=(1/2).(√∏).n!.(n+1)!.4n+1/((√∏).(2n+2)!) , kök pileri falan sadeleştirip 4n i 22n li olarak yazıp (n+1)! in n+1 i ile 1 tane 2 yi çarpıp alttaki 2n+2 ile sadeleştirip (2n+1)! bırakırsak

    en son geriye 22n.n!.n!/(2n+1)! kalmış oluyo bu da zaten istenen şey


    neyse bu kötü bi çözüm oldu çünkü bu sorunun beta gamma bulaştırılmadan çözümü olduğu belli sadece be işin içinde olmadığımdan bulamadım. uğraşıp bulursam doğru dürüst bir çözüm de yazmaya çalışacağım

    beta ve gamma fonksiyonları linklerden bakabilirsin

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    çözüm için teşekkürler hocam bu soru final sınavımızda çıkıcak sanırım eğer tekrar bakma fırsatınız olursa ve başka bir çözümden çıkarablirseniz lütfen beni bilgilendirin (sanırım binom açılımı işe yarayacak ancak ben işlem kalabalığından çıkamadım) Bu yolda gayet sade görünüyor beta ve gamma fonksiyonlarını öğrenirsem zor değil sınavda bu yoldan gideceğim

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    yine binomsuz başka bi yoldan daha çözdüm sanırım ama onu şimdi değil de sonra yazayım
    arkası yarın gibi oldu ama yarına bırakmam inş.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    sorunun çok karışık olmayan bildiğimiz şeylerle yapılmış bir çözümünü yazayım için rahat etsin dediğim gibi bu da binom kullanmıyor


    x=sint dönüşümü yapalım
    dsint=cost.dt , sınırlar da 0 dan pi/2 ye

    (1-x²)ndx=(cos2t)n.cost.dt
    =cos2n+1t dt

    şimdi bunun integralini alalım

    cosnx nin integralinin fomülünü kullanırsak (2 kere ∫udv=uv-∫vdu kullanıp bulabilirsin bunu ki hazırda kullanmana sakınca olduğunu sanmıyorum kitabınızın arkasındaki tabloda vardır heralde)



    şimdi bu ifadenin integralin dışındaki kısmı içinde cosxsinx çarpanı barındıracağından x=0 ve x=pi/2 değerlerine hesaplanırlara sıfır olacaklarından belirli integralin sonucu hesaplanırken değerlri sıfı olur bizim amacımız acaba en son kalan integral nasıl bir değer olur bunu bulmak

    her adımda integralin başına (kuvvetin 1 eksiği)/(kuvvet) çarpanı gelmkte ve her adımda kuvvet 2 azalmakta yani bunu şöyle yazabiliriz



    0 ile pi/2 arasında ∫costdt =1 olduğuna göre

    bu ifade baştaki i=1 den n ye kadar ∏(2i/(2i+1)) çarpımına eşit olur

    bu çarpımın payını ve paydasını pay ile tekrar çarpalım
    payda (2n+1)! olur , pay zaten 2n.n! kendiyle çarpılırsa 22n.(n!)² olur

    sonuçta da istenen 22n.(n!)²/(2n+1)! elde edilir

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    dönüşüm yaparak çözmeniz gerçekten çok iyi oldu hocam mantığını anladığım çözüm olunca da kolayca kavrayabilirim.. vakit ayırdığınız için çok teşekkür ederim gerçekten çok faydalı oldu benim için

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. bir türlü çözemediğim denklem sorusu
      rhl_184, bu konuyu "7. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 4
      : 22 Haz 2012, 10:34
    2. çözemediğim bir geometri sorusu
      Sosyal_Bilimci, bu konuyu "Özel geometri soruları" forumunda açtı.
      : 11
      : 29 Mar 2012, 19:24
    3. çözemediğim polinom sorusu
      korkmazserkan, bu konuyu "10. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 5
      : 24 Eyl 2011, 21:13
    4. çözemediğim bir integral sorusu daha
      ReaLGz, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 07 Oca 2011, 21:06
    5. çözemediğim bir integral sorusu yardımcı olabilirseniz sevinirim
      ReaLGz, bu konuyu "Özel matematik soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 21 Ara 2010, 22:04
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları