çözemediğim bir integral ispat sorusu

https://img407.imageshack.us/img407/...utkusuasdo.jpg olduğunu gösteriniz

binom açılımı yapıp ifadeyi açtım integralini alıp yerine sınır değerlerini koydum işlem hatam yoksa çok yaklaştım (tabi bu yol doğruysa) ancak bir türlü paydayı eşitleyip ifadeyi düzenleyemedim yardımcı olabilirseniz çok sevinirim

bu soruya da ancak şimdi bakabildim. bakıyorum büyük ihtimalle çözebilirim , çözünce yazarım.

Gamma ve Beta fonksiyonlarını biliyor musunuz?

Üniversite 1. sınıf öğrencisiyim derste şuanlık anlatılmadı onun için bilmiyorum ama tek çözüm yolu bahsettiğiniz gamma ve beta fonksiyonlarıyla ise siz çözün hocam ben araştırıp öğrenmeye çalışırım.

yok tek çözüm yolu tabiki bu değildir ama ben öyle bir çözüm buldum o yüzden demek istemiştim
yazayım siz karar verin

Beta fonksiyonu şu şekilde tanımlanıyor
https://img262.imageshack.us/img262/...usubetafun.png

ve Beta Fonksiyonuyla Gamma Fonksiyonu arasında şöyle bir ilişki var

B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)

şimdi Betanın tanımında t=k², x=1/2 ve y=n+1 alalım

bu durumda oluşan integral sizin yazdığınızın 2katı olur (dk²=2kdk yazdık)

yani sorduğunuz değer
=B(1/2,n+1)/2=(1/2)Γ(1/2)Γ(n+1)/Γ(n+1+1/2) oluyor

tanım gereği Γ(n+1)=n! zaten
Γ(1/2)=√∏
Γ(n+1/2)=(√∏)(2n)!/(4ⁿ.n!)

bunları yerine koyarsak
sorulan integral=(1/2).(√∏).n!.(n+1)!.4ⁿ⁺¹/((√∏).(2n+2)!) , kök pileri falan sadeleştirip 4ⁿ i 2²ⁿ li olarak yazıp (n+1)! in n+1 i ile 1 tane 2 yi çarpıp alttaki 2n+2 ile sadeleştirip (2n+1)! bırakırsak

en son geriye 2²ⁿ.n!.n!/(2n+1)! kalmış oluyo bu da zaten istenen şey


neyse bu kötü bi çözüm oldu çünkü bu sorunun beta gamma bulaştırılmadan çözümü olduğu belli sadece be işin içinde olmadığımdan bulamadım. uğraşıp bulursam doğru dürüst bir çözüm de yazmaya çalışacağım

beta ve gamma fonksiyonları linklerden bakabilirsin

çözüm için teşekkürler hocam bu soru final sınavımızda çıkıcak sanırım eğer tekrar bakma fırsatınız olursa ve başka bir çözümden çıkarablirseniz lütfen beni bilgilendirin (sanırım binom açılımı işe yarayacak ancak ben işlem kalabalığından çıkamadım) Bu yolda gayet sade görünüyor beta ve gamma fonksiyonlarını öğrenirsem zor değil sınavda bu yoldan gideceğim

yine binomsuz başka bi yoldan daha çözdüm sanırım ama onu şimdi değil de sonra yazayım :)
arkası yarın gibi oldu ama yarına bırakmam inş.

sorunun çok karışık olmayan bildiğimiz şeylerle yapılmış bir çözümünü yazayım için rahat etsin :) dediğim gibi bu da binom kullanmıyor


x=sint dönüşümü yapalım
dsint=cost.dt , sınırlar da 0 dan pi/2 ye

(1-x²)ⁿdx=(cos²t)ⁿ.cost.dt
=cos²ⁿ⁺¹t dt

şimdi bunun integralini alalım

cosⁿx nin integralinin fomülünü kullanırsak (2 kere ∫udv=uv-∫vdu kullanıp bulabilirsin bunu ki hazırda kullanmana sakınca olduğunu sanmıyorum kitabınızın arkasındaki tabloda vardır heralde)

https://img135.imageshack.us/img135/...usucosnint.png

şimdi bu ifadenin integralin dışındaki kısmı içinde cosxsinx çarpanı barındıracağından x=0 ve x=pi/2 değerlerine hesaplanırlara sıfır olacaklarından belirli integralin sonucu hesaplanırken değerlri sıfı olur bizim amacımız acaba en son kalan integral nasıl bir değer olur bunu bulmak

her adımda integralin başına (kuvvetin 1 eksiği)/(kuvvet) çarpanı gelmkte ve her adımda kuvvet 2 azalmakta yani bunu şöyle yazabiliriz

https://chart.apis.google.com/chart?...20cost%5C%2Cdt

0 ile pi/2 arasında ∫costdt =1 olduğuna göre

bu ifade baştaki i=1 den n ye kadar ∏(2i/(2i+1)) çarpımına eşit olur

bu çarpımın payını ve paydasını pay ile tekrar çarpalım
payda (2n+1)! olur , pay zaten 2ⁿ.n! kendiyle çarpılırsa 2²ⁿ.(n!)² olur

sonuçta da istenen 2²ⁿ.(n!)²/(2n+1)! elde edilir

dönüşüm yaparak çözmeniz gerçekten çok iyi oldu hocam mantığını anladığım çözüm olunca da kolayca kavrayabilirim.. vakit ayırdığınız için çok teşekkür ederim gerçekten çok faydalı oldu benim için