[(x-1)²]=([x-1])² denkleminin reel sayılarda çözünüz.Not: köşeli parantez tam değer anlamındadır.
[(x-1)²]=([x-1])² denkleminin reel sayılarda çözünüz.Not: köşeli parantez tam değer anlamındadır.
öncelikle bir cevap yazacağım fakat tam olarak emin olmadığımı söyleyebilirim
şimdi sorunun çözüm kümesinde tüm tam sayılar vardır yani Z kümesi bu ifadenin çözüm kümesindedir ancak bu sorunun cevabı yalnızca Z kümesi değildir örneğin (0,2) aralığından alınan rastgele bir reel sayı da çözümü sağlar ancak (2,+sonsuz) aralığındaki her reel sayı çözümü sağlamaz bu yüzden bu aralıktan hangi reeller işimize yarar onu düşünmemiz lazım ben bu yüzden olaya parça parça bakalım derim yani (2,3) , (3,4) ,..... aralıklarındaki reel sayılardan hangileri çözüm kümesine dahildir onu bulmalıyız şimdi burada öncelikle 2 ile 3 arasındaki sayılara bakalım bu sayıların 1 eksiği her zaman 1 ile 2 arasındadır kareleri de 2 ile 4 arasındadır ancak bu sayıların 1 eksiğinin tam değeri 1 dir ve karesi de 1 olduğundan bu 2 ile 3 arasındaki sayılardan 1 eksiğinin karesinin tam değeri 1 olanlar işimize yarar yani şunu diyorum (x-1)²<2 dolayısıyla x-1<√2 olanlar işimize yarar aynı mantıkla 3 ile 4 arasındaki sayıların 1 eksiği 2 ile 3 arasındadır karesi de 4 ile 9 arasındadır ancak bu sayıların 1 eksiğinin tam değeri 2 dir ve karesi de 4 tür o halde bize (x-1)² <5 dolayısıyla x<√5+1 sayıları gereklidir bunu bu şekilde sürdürebiliriz dikkat edersek köklü değerlerin içi 2 den başlıyor ve sürekli 3 5 7 .... artarak ilerliyor o halde son olarak çözüm kümemizi Z ∪ (0,2) ∪ (2,√2+1) (3,√5+1) ........... (n,√(n-1)²+1 +1) diye yazabiliriz
sorunun kaynağı nedir? bunu şu yüzden soruyorum ;
sorunun cevabı sonsuz tane ayrık kümenin birleşimi , yani herhangi bir üniversite sınavı ya da test sınavında çıkmayacak bir yapısı var.
neyse işte -1 kısımlarıyla uğraşmamak için y=x-1 deriz ve [|y|]²=[|y²|] denklmini çözeriz.
a∈Z ve 0≤b<1 için
y=a+b olmak üzere
denklem
[|a+b|]²=[|a²+2ab+b²|]
a²=a²+[|2ab+b²|] şekline dönüşür.
buradan [|2ab+b²|]=0 ya da
0≤2ab+b²<1 sonucuna ulaşırız.
buradan da her pozitif a değeri için bir b bulunabilir yani sayıdoğrusunda her tamsayı aralıkta ufak da olsa bu koşula uyan bir kısım vadır. ayrıca b=0 için de tüm negatif a değerlerinde koşul sağlanır. nasıl bir cevap bekleniyor bilemediğim için bu aralıkları kapalı olarak ifade etmekten başka çare yok sanırım.
şöyle diyelim
2ab+b²<1
2a+b<1/b , iki tarafa da b elenirse
2a+2b<(1/b)+b=(b²+1)/b
2y<(b²+1)/b koşulunu sağlayan her y değeri buna uygundur. (b sayının tanımladığımız üzere küsüratı kısmı)
Sorunun üniversite sınav sorusu olmadığını biliyorum ,özel bulduğum için paylaşmak istedim sadece..İlginiz için teşekkürler.
Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!