[gereksizyorumcu]

Anasayfa matematik zeka soruları başlığı altında yayınlanan mahkumlara yardım edin adlı soruya çözüm yazmak istiyorum. Soruyu henüz görmemiş arkadaşlarımıza çözümü okumadan önce bu güzel soruya bakıp uğraşmalarını öneririm.

[gereksizyorumcu]

6 kişiye numara verelim,
Ali-1
Bora-2
Cem-3
Deniz-4
Emre-5
Fırat-6

Mahkumların izleceği yöntem şudur. Kim içeri girerse girsin gidip kendi numarasındaki kartı ters çevirecektir, eğer ismini bulursa mesele yok, eğer ismini bulamazsa çevirdiği karttaki isme karşılık gelen numaralı sıradaki kartı ters çevirecektir ve yine ismini bulamazsa o çevirdiği kartta yazan isme atanan numaradaki kartı çevirecektir.

Örnek bir uygulama yapalım:
Ali içeri girince ilk kartı çevirsin ve onda Emre yazdığını görsün hemn gidip 5. kartı çevirir diyelim orada da Fırat yazsın hemen gidip 6. kartı çevirir. Eğer orada da Ali’yi bulamazsa mesela Deniz’i bulursa idam edilirler yok eğer bulursa sıradaki mahkum içeri girer. Hangi sırayla içeri girdiklerinin bir önemi yoktur içeri giren mahkumun bu stratejiye bağlı kalması yeterlidir.

Şimdi böyle bir stratejiyle hepsini birden kendi ismini bulma ihtimalinin %33 ü geçtiğini gösterelim.

Belirlenen her numara için yukarıda anlatılan strateji uygulandığında başka bir numaraya ulaşılabiliyorsa bu iki numarayı aynı gruba atalım. Misal yukarıdaki örnekte Ali 6. kartta ismini bulmuşsa 1-5-6 aynı gruptadır. Bu grubun uzunluğu 3 ten çok olmadığı için hem Emre hem de Fırat kendi isimlerini bulacaklardır. (ufak bir deneme yaparsanız görebilirsiniz) ya da bu grubun uzunluğu 3 ten fazlaysa grubun içindeki sayıların atandığı hiçbir mahkum kendi ismini bulamayacaktır. Yani bu stratejiyle tüm mahkumların kurtulmsı için gerek ve yeter koşul her grubun uzunluğunun 3 ten az olmasıdır. 1’den 4,5 ve 6 uzunluğunda grup oluşma ihtimalini çıkarırsak ihtimali hesaplamış oluruz.

4 uzunluğunda grup oluşma ihtimali
6 kişiden 4 kişi seçilir C(6,4)
bunlar 3! Değişik şekilde sıralanabilir (grubun son elemanının ilk elemanına gittiğini unutmayınız-bunlar sanki bir çembere dizilmekteler o yüzden 4! değil)
kalan 2 kişi 2! şekilde sıralanabilir
bunları çarpıp tüm duumların sayısı olan 6! e bölmeliyiz , sonuç;
C(6,4)*3!*2!/6!=1/4

Benzer şekilde 5 uzunluğunda bir grup oluşmuş olma ihtimali 1/5 , 6 uzunluğu için de 1/6
Aranan ihtimal 1-1/4-1/5-1/6=23/60~%38,3


6 yerine 2n mahkum , n deneme hakkı olsaydı benzer mantıkla ihtimal
olurdu.
Eğer mahkum sayısı yeterli miktar büyükse (misal n=100 falansa) bu değer yaklaşık olarak 1-ln2~0,306 ya da %30,6 gibi birşey olurdu ki yüzlerce mahkum için oldukça büyük bir kurtulma ihtimali.

_{Soru ve çözüm yolu için Mali’ye teşekkürler}