Tam değer ile ilgili soru

Sorunun örjinali;
×=1+1∕√2+1∕√3+...+1∕√1000000

ifadesinin tam değeri nedir? Çözümü lazım arkadaşlar.

ifadeyi bir de böyle yazayım (1 artı 1 bölü karekök 2 artı 1 bölü karekök 3 + ...+ 1 bölü karekök 1milyon)

nasıl hesaplanır. yardımlarınız için teşekkürler.

hocam f(x)=1/√x fonksiyonunu ele alırız ve grafiğini çizeriz

bu fonksiyonun x=1 ile 1.000.000 arasındaki grafiğinin x ekseniyle arasındaki alan sorulan değere çok yakındır ama daha küçüktür

bu fonksiyonun integrali 2√x tir bunu 1-10⁶ aralığında hesaplarsak =2.1000-2.1=1998

yani bu verilen toplam 1998 den büyükmüş

aynı hesabı bir de 0,5 hadi kökünü alması kolay olsun x=0,36 dan başlatırsak
integralin değerinin yani eğrimizin altında kalan alanın verilen bu toplamdan büyük olduğunu görürüz

2√x in 0,36 dan 10⁶ ya kadarki değeri = 2.1000-2.0,6=2000-1,2=1998,8 olur
yani bize verilen bu sayı S ise
1998<S<1998,8 , öyleyse bu sayının tam değeri 1998 dir.

sorudaki x ile fonksiyonunu yazdığımız x i karıştırmayalım sorudaki x=S olsun

hocam çok teşekkür ediyorum çözümünüz için

hocam, çözümünzdeki "bu fonksiyonun x=1 ile 1.000.000 arasındaki grafiğinin x ekseniyle arasındaki alan sorulan değere çok yakındır ama daha küçüktür" kısmını açıklayabilir misiniz. Neden böyle oldugunu. teşekkürler

hocam çok yakındır ifadesi benim yorumum ama 1/√x in grafiğini çizip x eksenini (1,2]∪(2,3]∪(3,4]∪...∪(1000,1001] şeklinde ayrık 1 birimlik parçalara ayırıp bu parçaların sol sınırlarının grafiği kestiği nokatyla dikdörtgenler çizerseniz bu dikdörtgenlerin alanaları toplamı sizin sorudğunuz toplam olur.
buna karşılık grafiğin x=1 den 1000 e kadarki sınırda altındaki alan (yani integral) bu dikdörtgenlerin alanları toplamından azdır (yakın olması ise yorumum)

bir de x=0,36 dan başlatıp grafiğimizin altını 1 er birimlik bölgelere ayırırsak ve hemen yanındaki dikdörtgenin alanıyla bu grafiğin altındaki alanları karşılaştırırsak bu yeni sınılarla oluşturduğumuz alanların verilen dikdörtgenlerin alanlarından daha büyük bir alan oluşturduğunu görürüz.
sonuç olarak da yukarıdakine ulaşırız
bu toplam S ise , 1/√x in 0,36 ile 1000 arasındaki integrali bu S toplamından büyük , 1 ile 1000 arasındaki integrali de bu S toplamından küçüktür
bu alt ve üst sınırların ikisi de tam değer olarak aynı sonucu verdiğine göre S in tam değeri de 1998 olmalıdır.