Mehmetikibir 16:00 23 Nis 2015 #1
2x(x⁵−1)/(x−1) +x^6+1=0 denkleminin reel çözümlerinin sayısı kaçtır?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
A)1 B)2 C)3 D)4 E)6
"reel çözümlerin sayısı"ndan kastı kökleri ise 6 adet kökü var. denklem 6. dereceden olduğu için 6 adet kökü vardır.
Mehmetikibir 20:01 25 Nis 2015 #3
Tabiki 6. dereceden olduğu için 6 kökü var ama reel kökleri soruyor bize. Bu arada sorunun cevabı 1
Mehmetikibir 18:37 30 Nis 2015 #4
sonunda buldum çözümü yazayım bari:
(x⁵-1)/(x-1) = x⁴+x³+x²+x¹+x⁰ buradan
2x(x⁵-1)/(x-1) + x^6 + 1 =0
2x(x⁴+x³+x²+x¹+1) + x^6 + 1 =0
x^6 + 2x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x¹ +2=0 her iki tarafa x^6 + 1 eklersek;
2x^6 + 2x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x¹ +2 = x^6 + 1 olur.
2(x^6+x⁵+x⁴+x³+x²+x¹+1)=2(x^7-1)/(x-1)=x^6+1 olur. Sağ tarafın paydasını eşitlersek
2(x^7-1)/(x-1)=(x^6+1)(x-1)/(x-1)=(x^7-x^6+x-1)/(x-1) sağ tarafı sıfır yapmak için o terimi sola yollayalım;
(2x^7 - 2 - x^7 + x^6 -x +1)/(x-1) =0
2x^7 - 2 - x^7 + x^6 -x +1=0
çarpanlara ayırırsak;
x^6(x+1)-x-1 = (x^6-1)(x+1)=0 olur.
İki taraftan biri 0 olacak. x+1 = 0 olursa x=-1 dir ve bir çözümdür.
x^6-1=0 olursa x=1 olur ama bu ilk ifademizi tanımsız yapacağından bir çözüm değildir. Dolayısıyla var olan tek reel çözüm -1 dir.
(x⁵-1)/(x-1) = x⁴+x³+x²+x¹+x⁰ buradan
2x(x⁵-1)/(x-1) + x^6 + 1 =0
2x(x⁴+x³+x²+x¹+1) + x^6 + 1 =0
x^6 + 2x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x¹ +2=0 her iki tarafa x^6 + 1 eklersek;
2x^6 + 2x⁵ + 2x⁴ + 2x³ + 2x² + 2x¹ +2 = x^6 + 1 olur.
2(x^6+x⁵+x⁴+x³+x²+x¹+1)=2(x^7-1)/(x-1)=x^6+1 olur. Sağ tarafın paydasını eşitlersek
2(x^7-1)/(x-1)=(x^6+1)(x-1)/(x-1)=(x^7-x^6+x-1)/(x-1) sağ tarafı sıfır yapmak için o terimi sola yollayalım;
(2x^7 - 2 - x^7 + x^6 -x +1)/(x-1) =0
2x^7 - 2 - x^7 + x^6 -x +1=0
çarpanlara ayırırsak;
x^6(x+1)-x-1 = (x^6-1)(x+1)=0 olur.
İki taraftan biri 0 olacak. x+1 = 0 olursa x=-1 dir ve bir çözümdür.
x^6-1=0 olursa x=1 olur ama bu ilk ifademizi tanımsız yapacağından bir çözüm değildir. Dolayısıyla var olan tek reel çözüm -1 dir.