erolaltacajr. 14:19 21 Şub 2011 #1
x,y ve z reel sayılar ise,
A= √x²+1 + √(y-x)²+4
B= √(z-y)²+1 + √(10-z)²+3
olduğuna göre A+B nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A= √x²+1 + √(y-x)²+4
B= √(z-y)²+1 + √(10-z)²+3
olduğuna göre A+B nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
gereksizyorumcu 00:12 22 Şub 2011 #2
bu sorunun sizin karşınıza nerede çıktığını merak ediyorum, ayrıca başlıkta Koşi Teoremi dediğiniz tam olarak nedir ? beni bu 2 konuda aydınlatırsanız sevinirim.
sorunuzu Lagrange (Anlamadığım soru) kullanarak çözebiliyoruz ama 12. sınıf için ne kadar makul birşey bilemiyorum.
x=a
y-x=b
z-y=c ve
10-z=d diye 4 tane değişken tanımlayalım
A+B=F(a,b,c,d)=√a²+1+√b²+4+√c²+1+√d²+3
fonksiyonunun min. değeri sorulmakta
tek koşulsa g(a,b,c,d,)=a+b+c+d=10
burada λ Lagrange çarpanıyken
L(F,g)=F(a,b,c,d)+λ.g(a,b,c,d) olarak tanımlandığında
dL/da=(a/√a²+1)+λ.1=0
dL/db=(b/√b²+4)+λ.1=0
dL/dc=(c/√c²+1)+λ.1=0
dL/dd=(d/√d²+3)+λ.1=0
bu denklmlerin hepsi ortak çözüldüğünde
b=2a
c=a
d=a√3 sonuçlarına ulaşılıyor
ve a+b+c+d=10 da bunlar çözümlenirse x=a=(40-10√3)/13
buradan da y=3x , z=4x bulunuyor
bu değerler de yerine yazıldığında (köklü değil de virgüldensonraki 5 basamak değerlerini yazdım x=1,74458 , y=5,23373 , z=6,97831)
F'in min değeri ~11,52634 bulunuyor
sorunuzu Lagrange (Anlamadığım soru) kullanarak çözebiliyoruz ama 12. sınıf için ne kadar makul birşey bilemiyorum.
x=a
y-x=b
z-y=c ve
10-z=d diye 4 tane değişken tanımlayalım
A+B=F(a,b,c,d)=√a²+1+√b²+4+√c²+1+√d²+3
fonksiyonunun min. değeri sorulmakta
tek koşulsa g(a,b,c,d,)=a+b+c+d=10
burada λ Lagrange çarpanıyken
L(F,g)=F(a,b,c,d)+λ.g(a,b,c,d) olarak tanımlandığında
dL/da=(a/√a²+1)+λ.1=0
dL/db=(b/√b²+4)+λ.1=0
dL/dc=(c/√c²+1)+λ.1=0
dL/dd=(d/√d²+3)+λ.1=0
bu denklmlerin hepsi ortak çözüldüğünde
b=2a
c=a
d=a√3 sonuçlarına ulaşılıyor
ve a+b+c+d=10 da bunlar çözümlenirse x=a=(40-10√3)/13
buradan da y=3x , z=4x bulunuyor
bu değerler de yerine yazıldığında (köklü değil de virgüldensonraki 5 basamak değerlerini yazdım x=1,74458 , y=5,23373 , z=6,97831)
F'in min değeri ~11,52634 bulunuyor
Heyt be ! varmı böyle bir moderatör. Ben çözemezdim bu soruyu.
MatematikciFM 00:35 22 Şub 2011 #4
İsmini hatırlıyorum Koşi teoreminin, her halde üniversiteden, ama isminden başka hiç bir şey.
gereksizyorumcu 00:39 22 Şub 2011 #5
büyük ihtimalle bu soruyu dahakısa yoldan çözmemizi sağlayacak bir teoremdir ama çözümde işlem hatası yapmadıysam x=10/(4+√3) değrinde bu ifade min. değerini aldığına göre bunu kolayca buldurtcak bişey olacağını sanmıyorum yine kareköklerin içindeki eklenen tamsayıların karekökleriyle doğru orantılı olmaları gerektiğini kullanmamız gerekecek.
büyük ihtimalle bu soruyu dahakısa yoldan çözmemizi sağlayacak bir teoremdir ama çözümde işlem hatası yapmadıysam x=10/(4+√3) değrinde bu ifade min. değerini aldığına göre bunu kolayca buldurtcak bişey olacağını sanmıyorum yine kareköklerin içindeki eklenen tamsayıların karekökleriyle doğru orantılı olmaları gerektiğini kullanmamız gerekecek.
f(b)-f(a)
g(b)-g(a)
=
f'(x)
g'(x)
x∈(a,b) şeklindeydi ama bu formülü bu soruda uygulayamadım.
MatematikciFM 00:53 22 Şub 2011 #8
Öğretmenim ben de arattırdım. Hepsinin içeriğine baktım. Bu soruda kullanılabilecek bir şey bulamadım. Sayın gereksizyorumcunun çözümü sanırım yeterli olacaktır.
gereksizyorumcu 11:06 26 Şub 2011 #9
şimdi Cauchy Teoremine bakıyodum, yoldan bağımsız falan diyince biraz geç uyandım ama olsun uyandım 
bu sorunun gerçekten çok kısa bir çözümü var.
şimdi koordinat sisteminde
O(0,0) , P1(1,x) , P2(3,y) , P3(4,z) ve P4(4+√3,10) noktalarını işaretleyelim
bize verilen A+B
=|OP1|+|P1P2|+|P2P3|+|P3P4| olur
bu uzunluklar toplamı da
her zaman için |OP4| uzunluğundan büyük eşittir .
|OP4|=√(4+√3)²+10²
=√16+8√3+3+100=√119+8√3~11,526335
bu noktaların hepsi doğrusalken bu uzunluğa ulaşılır
bu sorunun gerçekten çok kısa bir çözümü var.
şimdi koordinat sisteminde
O(0,0) , P1(1,x) , P2(3,y) , P3(4,z) ve P4(4+√3,10) noktalarını işaretleyelim
bize verilen A+B
=|OP1|+|P1P2|+|P2P3|+|P3P4| olur
bu uzunluklar toplamı da
her zaman için |OP4| uzunluğundan büyük eşittir .
|OP4|=√(4+√3)²+10²
=√16+8√3+3+100=√119+8√3~11,526335
bu noktaların hepsi doğrusalken bu uzunluğa ulaşılır
MatematikciFM 12:34 26 Şub 2011 #10
Beyninize sağlık, yine orjinal bir çözüm.