Sonlu matematik

1) 4x4 lük bir satranç tahtasının her bir karesine tüm satır ve sütunların toplamı 0 olacak şekilde 1 veya -1 yazılıyor. Bu durum kaç farklı şekilde gerçekleştirilebilir?

2)Düzlemdeki 2009 noktanın her biri mavi veya kırmızıya boyanıyor. Öyleki mavi nokta merkezli ve 1 birim yarıçaplı her çemberin üzerinde tam olarak 2 kırmızı nokta bulunacak. Mavi noktaların sayısı en çok kaçtır ?

3)Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 50 nokta verilmiştir. Düzlemdeki her nokta dört renkten birine boyanmıştır. En az 130 çeşitkenar üçgenin köşelerinin aynı renk olduğunu ispatlayınız.

1. sorunun cevabı 648 mi?

Şıklar 36, 45, 60, 90, 180

kötü bir sayma yöntemiyle 90 buldum. daha teknik bi yolu vardır muhakkak ama onu bulana kadar bunu yazalım dursun.

sadece 1 leri yerleştirmeye çalışıyoruz. her satır ve sütunda 2 tane olacak.
ilk satıra C(4,2)=6 şekilde yerleşir.
ikinci satıra yerleşecek 6 durumdan (bu 6 durum nasıl seçilirse seçilsin sorunun koşuluna aykırı düşemez)
1 tanesi ilk satırdakilerin ikisiyle de aynı hizaya yerleşen birleri içerir. bu durumda kalan iki satır tek şekilde doldurulur.
benzer şekilde 1 tanesindeki birler de farklı hizada bulunur , bu durumda 3. satırı istediğimiz gibi yerleştiririz C(4,2)=6 , 4. satır içinse tek durum kalır
son olarak 2. satırın yerleşimlerinden 4 tanesinde birlerden biri yukardakiyle aynı diğeri de farklı hizadadır.
bu durumda 3. ve 4. satırın iki sütunu belirlenmiştir, geriye 2x2 lik bir bölgeye 2 tane 1 i farklı satır ve sütunlarda olacak şekilde yerleştirmek kalıyor bu da 2 şekilde yapılabilir.
sonuç 6+6.6+6.4.2=90 bulunur.

Bence çözümünüz gayet mantıklı, farklı ihtimallere bakmak aklıma gelmemişti.

Teşekkür ederim bu soruyu aldığım kitapta çözüm kısmında İlk satıra 6 şekilde yerleştirilir. İlk sütuna 3 şekilde yerleştirilir ( 1'i belli olduğu için) ondan sonra da 3x3 lük kareye 5 şekilde yerşeltirilir demiş ama ben oranının neden 5 olduğunu anlamamıştım.

2.
buna gündüz de bakmıştım ama kağıt kalem olmayınca bişey yapılmıyor. şimdi kağıt kalemle bakınca o kadar da zor değil , galiba şöyle bir çözüm yapabiliriz.

k tane kırmızı m tane mavi nokta olsa k+m=2009
her kırmızı 2lisi için oluşan doğru parçasının iki farklı tarafındaki merkez noktaları olmak üzere maviler için C(k,2).2 gibi bir üst sınır belirleyebiliriz
öyleyse
(k.(k-1)/2).2+k=k²≥m+k=2009 → k≥45 ya da m≤1964 üst sınırı belirlenmiş olur.

şimdi m=1964 için noktalar nasıl yerleştirilir?
yarıçapı 1 birim olan bir çember çizeriz, bütün kırmızılar bu çemberin içinde olacak ki hangi ikisini seçersek seçelim oluşan doğru parçasının iki tarafında da birer mavi merkez bulunabilsin.
bundan sonra bu çemberin içinde rastgele iki nokta kırmızıya boyanır ve bu noktalara 1 birim uzaktaki iki merkez maviye boyanır (bu mavi noktaların çemberimizin içinde kalması şart değil) ardından mavi merkezli çemberler çizilir. şimdi esas çemberimizin içinde mavi merkezli çemberlerin üzerinde olmayan sonsuz noktadan 1 tane daha seçilir ve kırmızıya boyanır. benzer şekilde oluşacak 2 yeni doğru parçası için 4 tane mavi merkez daha belirlenip çemberleri çizilir ve yine esas çemberin içinde mavi merkezli çemberlerin üzerinde olmayan sonsuz noktadan bir kırmızı daha seçilir ...
45. kırmızı ile oluşan 44 doğru parçasının iki tarafındaki 88 merkezle birlikte 1980 tane mavi işaretlenebilir ki bize 1964 yetiyordu zaten.

sayılara bakınca 3. soru sanki şöyle bir çözüm istiyor ama toparlayamadım, bunu yarın uygun bi vakitte toparlamaya çalışırım belki yol gösterir diye yazayım (belki de çözecek birisinin kafasını karıştırır kimbilir )

50 tane nokta olduğundan 13 tane aynı renge boyanmış nokta vardır.
bunları ele aldığımızda C(13,2)=78 tane doğru parçası oluşur , her doğru parçasını taban kabul eden en fazla 2 tane tepe noktası seçilebilir 3. bir tepe noktası daha seçilirse bu 3 tepe noktası doğrusal olacaktır. (sıkıntı burada tepe noktası seçmek zorunda mıyız acaba? yarın düşünelim)
kısaca en fazla 78.2=156 tane üçgen devre dışı kalır
C(13,3)=13.12.11/6=286
286-156=130 çeşitkenar kalır

galiba bu çözüm her çeşitkenar olmayan üçgen için bir taban (eşkenar için 3 taban belirlenmesi bizim avantajımıza 3 doğru parçası için 6 üçgen çıkarıyoruz ama gerçekte daha az üçgen devre dışı kalıyor) belirlenebileceğinden yeterli oluyor.

teşekkür ederim