Denklemler

1)x³+2y³=4z³ denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

2)9x²+4y²=72z² denklemini tam sayılar kümesinde çözünüz.

1.
bu denklemi sağlayan en küçük x i seçelim
x³+2y³=4z³ , x=2a olmalıdır , yerine yazılıp sadeleştirilirse
4a³+y³=2z³ , benzer şekilde y=2b , yerine yazılıp sadeleştirilirse , ardından z=2c ve yine sadeleştirilirse
a³+2b³=4c³ , a=x/2<x olduğundan ve denklemi sağladığından x in en küçük olması kabulü yanlıştır , kısaca bu denklemin pozitif tamsayılarda çözümü yoktur.

2.
y=3b şeklinde olmalıdır , yerine yazılıp sadeleştirilirse
x²+4b²=8z² , x=2a
a²+b²=2z² , bu noktadan sonra nasıl bi çözüm bekleniyor bilmiyorum belki de soruda yazım yanlışı vardır çünkü bu denklemin sonsuz çözümü vardır.
ya da belki tüm çözümler k bir tamamıyım
(k,7k,5k) şeklindedir buna akşam evde bakayım

Teşekkür ederim
İkinci soruda yazım yanlışı yok, çözüm takımlarını istiyor. Cevap ise
x=2k(2ab-a²+b²) , y=3k(2ab+b²-a²) , z=k(a²+b²)
Şeklinde gösteriliyor ama doğrumu bilmiyorum

evet ufak bir eksi hatasıyla bu dediğiniz denklemi sağlıyor ama bunu nasıl buluruz şu an aklıma bişey gelmedi açıkcası. yine de üzerinde biraz daha düşünelim belki bişeyler buluruz sonuçta elimizde cevap var , cevabın formu bize yardımcı olacaktır.

x=2n olmalı buradan yazıp sadeleştirin

9n²+y²=18z²

şimdide y=3m olmalı buradan yazıp sadeşleştirin

n²+m²=2z²

enson yazılan ifade aslında pisagor üçlülerine benzetmek için 2 ile çarpalım

2n²+2m²=4z²

(n-m)²+(n+m)²=(2z)²

n-m=a yazılırsa ve n+m=b yazılırsa ve 2z=c yazılırsa

a²+b²=c²

pisagor üçlüleri genel parametrik ifadesini kullanırsanız

[ a, b, c ]= [ 2mnk , (m²-n²)k , (m²+n²)k ]

bunu verdiğiniz çözüme yada başka formada modifiye edebilirsiniz

Teşekkür ederim. pisagor üçlülerini bilmiyordum

aklınıza sağlık hocam
(n-m)²+(n+m)²=(2z)² 'ye geçiş çok güzel olmuş.