Denklemler

1)3(xy+yz+xz)=4xyz denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

2)x²y+y²z+z²x=3xyz denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

3)(x+y)²+3x+y+1=z² denkleminin çözümü olan tüm pozitif (x,y) tam sayılarını bulunuz.

4) a∈{3,4,5} b∈{4,5...,11,12} ve c∈{1,2,3,.....,7,8} olmak üzere, x⁶+ax⁴+bx²+c=y³ denklemlerinin çözülemeyeceğini gösteriniz.

5)x³+3=4y(y+1) denkleminin tam sayı çözümlerini bulunuz.

6)x³+21y²+5=0 denklemini tam sayılarda çözünüz.

1) her iki tarafı xyz ile bölün buradan (3/x)+(3/y)+(3/z)=4 bulacaksınız
her üçüde yani x,y,z >3 olamayacağını görüyoruz çünkü her terim 1 den küçük dolayısıyla toplam 3 ten küçük olur demekki çözüm varsa x,y,z den enaz biri ≤3 olmalı
z≤3 olsun
z=3 deneyelim buradan
(3/x)+(3/y)=3 tek çözüm x=2 ve y=2 olur(zaten x=y olmalı x≠y için bu çözüm vermez uzatmamak için bu tarz adımları atlıyorum ama siz kontrol edip göstermeye çalışın )
çözüm üçlüleri (2,2,3)(3,2,2)(2,3,2)

şimdi z=2 ise deneyelim yukardakinin aynısı bu kez x=3 ve y=2 yada x=2 ve y=3 çıkacak(yine z=2 ise x=y olamayacağını gösterin)

son olarak z=1 ise deneyelim buradan (3/x)+(3/y)=1 buradanda x=6 ve y=6
ile x=12 ve y=4 yada x=4 ve y=12 bulunur(neden nasıl?) göstermeye çalışın çözüm üçlüleri (6,6,1)(1,6,6)(6,1,6)(1,12,4)(1,4,12)(4,1,12)(12,1,4)(12,4,1)(4,12,1)
toplam 12 çözüm buldum kontrole ihtiyaç olabilir emin değilim

2)x²y+y²z+z²x=3xyz buradada sol taraf için aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden
x²y+y²z+z²x ≥3∛(x³y³z³)
x²y+y²z+z²x ≥3xyz buluruz tabiki soruya göre eşitlik olabilir ancak buda
x=y=z için sağlanır çözüm üçlüleri her k∈Z⁺ için (k,k,k)

6)x³+21y²+5=0 ifadesine 21 i öldürmek için mod7 bakın buradan
x³+5=0 (mod7)
x³=2 (mod7) tabiki 7 nin kalan sınıfında kübü 2 olan eleman yok (kendiniz gösterin)
demekki çözümde yok

5)x³+3=4y(y+1) her iki tarafa 1 ekleyin
x³+4=(2y+1)²
x³=(2y+1)-2²
x³=(2y-1)(2y+3)
şimdi sağ taraftaki çarpanlar için ebob(2y-1 , 2y+3)=(2y-1 , 4)=1 olduğundan bunlar aralarında asal o halde her ikiside ayrı ayrı küp olmalı
2y-1=a³ ve 2y+3=b³
b³-a³=4
(b-a)(b²+ab+a²)=4
bu eşitliği sağlayacak a , b tam sayıları yoktur o halde çözüm kümesi boş küme

ilk bakışta bu cevapları buldum eğer bir yanlışlık görürseniz yada anlaşılmayan kısım belirtin 3. ve 4. soru için çözüm göremedim...

3) (x+y)²+3x+y+1=z²
bu denklem x=y için
4x²+4x+1=z²
(2x+1)²=z²
2x+1=z için (x,y,z) çözüm kümesi k∈N olmak üzere (k , k , 2k+1) olarak bulunur

çözüm :
(x+y)² < (x+y)²+3x+y+1 < (x+y+2)²
ensağdakini açıp eşitsizliğin yazılabileceğini görün farkları iki olan tamsayıların kareleri arasında tabikidearalarındakinin karesi olabilir ancak

(x+y)²+3x+y+1=(x+y+1)²
x²+y²+2xy+3x+y+1=x²+y²+2xy+1+2x+2y ise
x=y bulduk şimdi x=y yazıp 2x+1=z kolayca bulursunuz

4) çok zor değilmiş aslında ama göremeyince dün bütün gün uğraştırdı.
şimdi farkettim şunu görmek gerekiyor;

x⁶+ax⁴+bx²+c=y³ ifadesinde sol taraftaki polinomda tek dereceli terim yok o yüzden sağdaki y polinomunun m tam sayı olmak üzere (x²+m) formunda olması gerek böylece

y³=(x²+m)³=x⁶+3mx⁴+3m²x²+m³ olacak buradan verilen a,b,c katsayıları
a=3m
b=3m²
c=m³ olmalı artık neden olmayacağı kolayca gözüküyor sanırım(eğer b sayısı için kümede 3 olsaydı m=1 için böyle bir ifade yazılabilirdi neden b∈{4,5,6,...,12}olduğunu anlamış olduk

çok teşekkür ederim