1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Denklemler

    1)3(xy+yz+xz)=4xyz denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

    2)x²y+y²z+z²x=3xyz denklemini pozitif tam sayılarda çözünüz.

    3)(x+y)²+3x+y+1=z² denkleminin çözümü olan tüm pozitif (x,y) tam sayılarını bulunuz.

    4) a∈{3,4,5} b∈{4,5...,11,12} ve c∈{1,2,3,.....,7,8} olmak üzere, x6+ax4+bx2+c=y³ denklemlerinin çözülemeyeceğini gösteriniz.

    5)x³+3=4y(y+1) denkleminin tam sayı çözümlerini bulunuz.

    6)x³+21y²+5=0 denklemini tam sayılarda çözünüz.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    1) her iki tarafı xyz ile bölün buradan (3/x)+(3/y)+(3/z)=4 bulacaksınız
    her üçüde yani x,y,z >3 olamayacağını görüyoruz çünkü her terim 1 den küçük dolayısıyla toplam 3 ten küçük olur demekki çözüm varsa x,y,z den enaz biri ≤3 olmalı
    z≤3 olsun
    z=3 deneyelim buradan
    (3/x)+(3/y)=3 tek çözüm x=2 ve y=2 olur(zaten x=y olmalı x≠y için bu çözüm vermez uzatmamak için bu tarz adımları atlıyorum ama siz kontrol edip göstermeye çalışın )
    çözüm üçlüleri (2,2,3)(3,2,2)(2,3,2)

    şimdi z=2 ise deneyelim yukardakinin aynısı bu kez x=3 ve y=2 yada x=2 ve y=3 çıkacak(yine z=2 ise x=y olamayacağını gösterin)

    son olarak z=1 ise deneyelim buradan (3/x)+(3/y)=1 buradanda x=6 ve y=6
    ile x=12 ve y=4 yada x=4 ve y=12 bulunur(neden nasıl?) göstermeye çalışın çözüm üçlüleri (6,6,1)(1,6,6)(6,1,6)(1,12,4)(1,4,12)(4,1,12)(12,1,4)(12,4,1)(4,12,1)
    toplam 12 çözüm buldum kontrole ihtiyaç olabilir emin değilim

    2)x²y+y²z+z2x=3xyz buradada sol taraf için aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden
    x²y+y²z+z2x ≥3∛(x³y³z3)
    x²y+y²z+z2x ≥3xyz buluruz tabiki soruya göre eşitlik olabilir ancak buda
    x=y=z için sağlanır çözüm üçlüleri her k∈Z+ için (k,k,k)

    6)x³+21y²+5=0 ifadesine 21 i öldürmek için mod7 bakın buradan
    x³+5=0 (mod7)
    x³=2 (mod7) tabiki 7 nin kalan sınıfında kübü 2 olan eleman yok (kendiniz gösterin)
    demekki çözümde yok

    5)x³+3=4y(y+1) her iki tarafa 1 ekleyin
    x³+4=(2y+1)2
    x³=(2y+1)-22
    x³=(2y-1)(2y+3)
    şimdi sağ taraftaki çarpanlar için ebob(2y-1 , 2y+3)=(2y-1 , 4)=1 olduğundan bunlar aralarında asal o halde her ikiside ayrı ayrı küp olmalı
    2y-1=a3 ve 2y+3=b3
    b3-a3=4
    (b-a)(b2+ab+a2)=4
    bu eşitliği sağlayacak a , b tam sayıları yoktur o halde çözüm kümesi boş küme

    ilk bakışta bu cevapları buldum eğer bir yanlışlık görürseniz yada anlaşılmayan kısım belirtin 3. ve 4. soru için çözüm göremedim...

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    3) (x+y)2+3x+y+1=z2
    bu denklem x=y için
    4x²+4x+1=z2
    (2x+1)2=z2
    2x+1=z için (x,y,z) çözüm kümesi k∈N olmak üzere (k , k , 2k+1) olarak bulunur

    çözüm :
    (x+y)2 < (x+y)2+3x+y+1 < (x+y+2)2
    ensağdakini açıp eşitsizliğin yazılabileceğini görün farkları iki olan tamsayıların kareleri arasında tabikidearalarındakinin karesi olabilir ancak

    (x+y)2+3x+y+1=(x+y+1)2
    x²+y²+2xy+3x+y+1=x²+y²+2xy+1+2x+2y ise
    x=y bulduk şimdi x=y yazıp 2x+1=z kolayca bulursunuz

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    4) çok zor değilmiş aslında ama göremeyince dün bütün gün uğraştırdı.
    şimdi farkettim şunu görmek gerekiyor;

    x6+ax⁴+bx²+c=y³ ifadesinde sol taraftaki polinomda tek dereceli terim yok o yüzden sağdaki y polinomunun m tam sayı olmak üzere (x²+m) formunda olması gerek böylece

    y³=(x²+m)3=x6+3mx⁴+3m2x²+m3 olacak buradan verilen a,b,c katsayıları
    a=3m
    b=3m2
    c=m3 olmalı artık neden olmayacağı kolayca gözüküyor sanırım(eğer b sayısı için kümede 3 olsaydı m=1 için böyle bir ifade yazılabilirdi neden b∈{4,5,6,...,12}olduğunu anlamış olduk

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    çok teşekkür ederim


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. polinom denklemler , rasyonel denklemler
      1beyza1, bu konuyu "10. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 6
      : 07 Şub 2014, 21:46
    2. denklemler
      tubicik, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 6
      : 11 Ağu 2012, 16:05
    3. Denklemler..
      matmania, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 14
      : 11 Ağu 2012, 11:07
    4. Denklemler
      Furkanc54, bu konuyu "7. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 14
      : 07 Oca 2012, 20:01
    5. denklemler
      Türkü deniz, bu konuyu "7. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 1
      : 27 Nis 2011, 10:33
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları