[sentetikgeo]

1)a₁ üç basamaklı bir sayıdır a_n+1=a_n-s(a_n) şeklinde tanımlanan dizi için a₁₂₀ ne olabilir ?(s(a_n) a_n 'nin basamakları toplamıdır.
2)140x-73y=1 denkleminin çözümü olan (x,y) tam sayı ikilisi için x+y=?

[gereksizyorumcu]

1.
a₁≡x (mod9) olsun
bu durumda a₂<999 ve a₂≡0 (mod9) olacaktır
bundan sonraki her k için a_k≡0 (mod9) olacağını görebiliyoruz.
k>1 için a_k≠0 ise S(a_k)≡0 (mod9) ve S(a_k)>0 yani S(a_k)≥9 olacaktır
her adımda sayı en az 9 azalacaktır
999/9=111 , en fazla 111 adımda sayımızın sıfırlanmasını bekleyebiliriz.
a₁₂₀=0 bulunur.

2.
burada en küçük x ve y doğal sayıları için demeli bence çünkü 140 ve 73 aralarında asal olduğu için bu denklemin sonsuz çözümü vardır.

neyse öyle verildiğini varsayalım, forumda yanılmıyorsam aerturk hocamız bir yol göstermişti (forumda arasanız bulabilirsiniz sanırım o konudaki sorular da güzeldi)
bu denklemin köklerini bulmak için onu uygularsak

140-73=67 , 73-67=6 , 67-11.6=1 , (öklit algoritmasıyla obeb buluyoruz gibi düşünün)
şimdi geriye doğru ilerliyoruz
67-11.6=1
67-11.(73-67)=67-11.73+11.67=12.67-11.73=1
12.(140-73)-11.73=12.140-12.73-11.73=12.140-23.73=1
x=12 ve y=23 bulunur
x+y=35

[NaaL]

70(2x-y)-3y=1


2x-y=0 olursa y=-1/3 (x,y E Z)

2x-y=1 olursa -3y=-69 olur, y=23 olur. 2x-23=1 x=12 olur. (bulduk.)

2x-y=2 olursa -3y=-139 olur (x,y E Z)

2x-y=3 olursa -3y=-209 olur (x,y E Z)

2x-y=4 olursa -3y=-279 olur. y=93 olur . 2x-93=4 ise x=97/2

2x-y=5 olursa -3y=-349 olur (x,y E Z)

2x-y=6 olursa -3y=-419 olur (x,y E Z)

sağlam bir yol değil ama çözüm geldi

[sentetikgeo]

teşekkürler

[Cem1971]

Daha farklı bakış açıları kazandırmak adına...

2. soruya 2. çözüm olarak:
y=(140x-1)/73 yazılırsa 140x-1'in birler basamağı 9 olduğuna göre 73 ile çarpılacak sayılar 3, 13, 23, 33 v.s. olabilir. Hakikaten 73.23=1679=140x-1 'den x=12 bulunur ve dolayısıyla y=23 bulunur. Bu başlangıç çözümleri bulunduktan sonra diğer çözümler katsayılara bağlıdır. Bu doğru denkleminin (diyofant denklem) eğimi pozitif olduğundan, x artarken y de artar (veya x azalırken y de azalır), birbirlerinin katsayılarına (çaprazvarî) bağlı olarak; yani x=12+73k ve y=23+140k biçiminde genel çözümdür.

Bu çözüm stili her soruda olmasa da uygun katsayılarda veya bu çözüme cevap verecek sorularda ve başlangıç çözümler fazlaca uzakta değilse her zaman yapılabilir.

3.çözüm, modüler ile; -6x≡1 (mod 73) ise k∈-Z için -6x=73k+1 yazılır. k=-1 için -6x=-72 ve x=12 ve dolayısıyla y=23 baçlangıç çözümleri (veya özel çözüm) bulunur.

Bu anlamda başka bir soru da sentetikgeo sana:
151x+71y=1 için başlangıç çözümlerini bulunuz. Soru Odtü Matematik'den alınmıştır.

[sentetikgeo]

Daha farklı bakış açıları kazandırmak adına...

2. soruya 2. çözüm olarak:
y=(140x-1)/73 yazılırsa 140x-1'in birler basamağı 9 olduğuna göre 73 ile çarpılacak sayılar 3, 13, 23, 33 v.s. olabilir. Hakikaten 73.23=1679=140x-1 'den x=12 bulunur ve dolayısıyla y=23 bulunur. Bu başlangıç çözümleri bulunduktan sonra diğer çözümler katsayılara bağlıdır. Bu doğru denkleminin (diyofant denklem) eğimi pozitif olduğundan, x artarken y de artar (veya x azalırken y de azalır), birbirlerinin katsayılarına (çaprazvarî) bağlı olarak; yani x=12+73k ve y=23+140k biçiminde genel çözümdür.

Bu çözüm stili her soruda olmasa da uygun katsayılarda veya bu çözüme cevap verecek sorularda ve başlangıç çözümler fazlaca uzakta değilse her zaman yapılabilir.

3.çözüm, modüler ile; -6x≡1 (mod 73) ise k∈-Z için -6x=73k+1 yazılır. k=-1 için -6x=-72 ve x=12 ve dolayısıyla y=23 baçlangıç çözümleri (veya özel çözüm) bulunur.

Bu anlamda başka bir soru da sentetikgeo sana:
151x+71y=1 için başlangıç çözümlerini bulunuz. Soru Odtü Matematik'den alınmıştır.

modüler aritmetik ile çözdüm.
71y≡1(mod151) 2 tarafı 1 ile çarparsak.
-9y≡2(mod151)
9y≡-2(mod151) iki taragı 17 ile çarpınca
2y≡-34(mod151)
y≡-17(mod151)
y yerine -17 yazarsak x=8 olur . x=8+71k y=-17-151k
Benim sorum da bu yöntemle çözülüyormuş aslında.
73y≡-1(mod140) 2ile çarpınca
6y≡-2≡138(mod140)
y≡23(mod140)
y yerine 23 yazınca x 12 çıkar

[Cem1971]

80x+71x+71y=1
x+y=(1-80x)/71 olduğundan 1-80x'in birleri 9 olabilir. O zaman 71, 9 ile çarpılırsa 639 ve dolayısıyla x=8 olabilir.
x=8 ise, 8+y=-639/71=-9 dan y=-17 olacaktır.

Genel çözümü yazmak istersek, yukarıda söylediğim üzere, doğrunun eğimi negatif olduğundan x artarken y azalır (veya x azalırken y artar)
x=8 ve y=-17
x=8+71=79 ve y=-17-151=-168
x=79+71 ve y=-168-151
....
x=8+71k ve y=-17-k151 genel çözümü yazılır. (Veya x=8-71k ve y=-17+151k)