En büyük n sayısı

o zaman hemen yeni soru bulalım , maksat boş durmamak

Üzerinden yarın itibariyle bir yıl geçmiş bir konuya cevap yazmak sizleri heyecanlandırır mı bilmiyorum ama şöyle bir şey yazayım:

reel sayılardan seçilen n²+1 sayının her hangi bir diziliminde mutlaka öyle n+1 tanesi vardır ki ya artan ya da azalandır.

Bunu güvercin yuvası ilkesi ile ispatlayabilirsiniz.

Başta sorulan soru da verdiğim genel ifadenin n=4 halidir. Aslında her dizilim için en büyük değer olarak n+1 olur çünkü tersi örnekler bulunabilir. Verilen özel bir dizilim için daha büyük değerler de bulunabilir. Ama n+1 den küçük bir değer bulunamaz.

Sonraki mesajlarda verilen sayı aralıkları da gözlem yoluyla bulunmuş. Uğraşan ilgilenen emek harcayan arkadaşlara saygı ve sevgilerimi sunuyorum.

hocam bu konuda biraz düşündüm ama ne şekilde yuvaları oluşturabiliriz bulamadım açıkcası. en az 1 tanesinde n+1 eleman bulunması gereken n tane kümeyi ne şekilde oluşturuyoruz söyleyebilir misiniz?

Burada artan ve azalan ifadelerinin tanımlarına dikkat etmek gerekir. Artan olarak kesinlikle artan veya azalan olarak kesinlikle azalan anlaşılıyorsa yazdığım ifade birbirinden farklı n²+1 sayı için geçerlidir.
Bu durumu kanıtlamaya çalışalım:

İddianın yanlış olduğunu varsayalım.
Sayıları a₁, a₂, a₃ , ... ile gösterirsek her bir sayı için (i, j) şeklinde bir ikili oluşturalım. Burada i ile o sayıdan başlamak üzere en uzun artan alt dizinin eleman sayısını, j ile de en uzun azalan alt dizinin eleman sayısını gösterelim. Hipotezin yanlış olduğunu varsaydığımız için 1 ≤ i ≤ n ve 1 ≤ j ≤ n olmak zorundadır. Böylece n² tane (i, j) ikilisi oluşturabilir. Fakat bize verilen sayıların sayısı n²+1 olduğu için güvercin yuvası ilkesi gereği verilen iki sayı için oluşturduğumuz (i, j) ikilileri aynı olmalıdır. Bu sayılara a ve b diyelim.

Toparlayalım biraz: a için oluşturulan (i, j) ikilisi bize
(1) a ile başlayan ve artan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla i,
(2) a ile başlayan ve azalan bir alt dizinin uzunluğunun en fazla j olduğunu belirtir.
Aynı çıkarım b için de geçerlidir.

Şimdi a<b durumu b için yazılan (1) ile birleştirlirse, a için yazılan (1) ile çelişir. b<a durumu a için yazılan (1) ile birleştirlirse, b için yazılan (1) ile çelişir.

Küçük bir örnekle (i, j) ikililerini biraz daha açık hale getirmeye çalışayım.
n=2 olsun.
Bu durumda verilen 5 farklı sayımız olacak.
Dizimiz 13, 41, 24, 2, 15 olsun.

Şimdi her sayı için (i, j) ikililerini oluşturalım:
13 için (2, 2). Burada birinci 2 bize 13 ile başlayan ve artan alt dizinin uzunluğunun en fazla 2 olduğunu belirtir. Mesela 13, 41 ya da 13, 24 ya da 13, 15. benzer şekilde diğer sayılar için de ikililer şöyledir:

41 için : (1, 3)
24 için : (1, 2)
2 için : (2, 1)
15 için : (1, 1)

Dikkat edersek bu ikililerden birinin bir bileşeni n (yani 2) den büyük oldu ki o da aradığımız alt dizinin uzunluğudur. Yani uzunluğu 3 olan ve azalan bir alt dizi bulduk.

çok güzel bir çözüm olmuş. güzel bir soruydu bu çözümle daha da güzelleşti.