1. #1

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sayılar teoresi

    1) Basamakları toplamı 900 olan bir tamkare bulunuz.

    2)2p4-p2+16 sayısının tam kare olmasını sağlayan p asal sayılarını bulunuz.

    3)Hangi n pozitif tam sayısı için 2n+65 tam karedir?

    4)n pozitif bir tam sayı olmak üzere n2+3n+5 sayısının 121 in katı olamayacağını gösteriniz.

    5)Bir tanesi dışında tüm basamakları 5 olan 1000 basamaklı bir sayının tam kere olamayacağını gösteriniz.

  2. #2

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
    n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
    Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
    İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
    k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
    Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
    Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek

  3. #3

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    Alıntı aerturk39'den alıntı Mesajı göster
    5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
    n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
    Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
    İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
    k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
    Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
    Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek
    teşekkür ederim

  4. #4

    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    4)
    biraz uzun oldu ama sanirsam çikiyo
    n sayisinin 11 e göre modlarini inceleyelim:
    n≡0 --> n²+3n+5=5 mod(11)
    n≡1 --> n²+3n+5=9 mod(11)
    n≡-1 --> n²+3n+5=3 mod(11)
    n≡2 --> n²+3n+5=4 mod(11)
    n≡-2 --> n²+3n+5=3 mod(11)
    n≡3 --> n²+3n+5=1 mod(11)
    n≡-3 --> n²+3n+5=5 mod(11)
    n≡4 --> n²+3n+5=0 mod(11) **** demekki n²+3n+5=11k+4 formunda olmali 121 e bölünebilmesi için
    n≡-4 --> n²+3n+5=9 mod(11)
    n≡5 --> n²+3n+5=1 mod(11)
    n≡-5 --> n²+3n+5=4 mod(11)
    n =11k+4 için:
    (11k+4)²+3(11k+4)+5 i 121 e göre inceleyeceğiz = 121k²+88k+16+33k+12+5
    =121k²+121k+33=33 mod(121)

  5. #5

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    1.
    örneğin (333...3)²=11...1088...89 sayısının rakamları toplamı 900 dür. (900 tane 3,1 ve 8 kullanılmış)
    bu örneklerin sayısı arttırılabilir sanıyorum.
    (33...3)² nin neden aynı sayıda 1 ve 8 olmak üzere 11...1088...89 olduğunu göstermek de çok zor değildir heralde onu size bırakalım.

    2.
    p≠3 için
    p²=p⁴=1 (mod3) olur
    bu sayı da 2.1-1+16=2-1+1=2 (mod3) ve bu da tamkare olamaz çünkü hiçbir sayının karesi mod3 te 2 olamaz.
    p=3 için
    81.2-9+16=169 tamkaredir yani sadece p=3 için bu ifade tamkare olur

    3.
    n çift ise n=2t
    t>5 için
    (2t)²<22t+65=22t+2.25+1<(2t+1)² yani tamkare olamaz

    n tek ise 5 modunda incelendiğinde
    2n+65=2n=2 veya 3 (mod5)
    5 modunda herhangi bir sayının karesi 2 veya 3 olamaz (kareler 0,1,4)

    kısaca bu ifade tamkare ise n çift ve 10 dan küçük eşit olmalı
    0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor

    4.
    arkadaşımız çözmüş ama biraz daha kısa olduğu için bu yolu da yazalım
    n²+3n+5 sayısı 121 in katı olsun
    (n+7)²=n²+3n+5+11.(n+4) , eşitliğinde sağ taraf 11 e bölünecektir öyleyse sol taraf da 11 e ve dolayısıyla 121 e bölünmelidir. (n+7=0 (mod11) n=4 (mod11))
    sol taraf 121 e bölündüğüne göre sağ taraf da bölünmelidir
    11.(n+4) =0 (mod121)
    n+4=0 (mod11)
    n=7 mod11
    n=4 ve n=7 (mod11) bir sayı olamayacağına göre baştaki kabul yanlıştır.

    5.
    bunu da hocamız yapmış ama şöyle biraz daha kısa olabilir (mantık aynı başka nasıl çözebiliriz ki zaten )
    bu sayının 5 tan farklı olan basamağındaki rakam x olsun öyleyse bu sayı 3 modunda x e denk olur yani x=2,5,8 olamaz (karesi 2 olan sayı yok)
    sonu 5 olan bir tamkare 5 e bölünüyordur öyleyse sonu 25 olmalıdır , x=2 durumu olamıyordu demek ki sonu 5 değil.
    sonu 55x için 8 modunda incelenirse kareler sadece 0,1,4 e denk olabiliyordu
    x=2,3 veya 6
    sonu 2 veya 3 olan tamkare olamaz.
    x=6 olduğunda sayı kare sayımız 3 e bölünür dolayısıyla 9 a da bölünmeli ama 9 modunda 6 ya denk olduğu görülüyor yani bu da olamaz.

  6. #6

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    burada 1. soru için 1 ve 8 lerin sayısı 1 eksik olacak. sanırım orası hemen anlaşılabilecek bir hata.

  7. #7

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    teşekkür ederim hepinize 5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.

  8. #8

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Alıntı sentetikgeo'den alıntı Mesajı göster
    teşekkür ederim hepinize 5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.
    her k rakamı için (....k5) sayılarının kareleri mod100 için
    (k5)2=(10k+5)2=100k2+100k+25 ≡25 (mod100)

    demekki birler basamağı 5 olan tüm sayıların karesi alınınca sonucun son ikirakamı ....25 şeklinde olmalı ama biz 555....5555545 olsun istiyorduk çelişki.

  9. #9

    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Alıntı gereksizyorumcu'den alıntı Mesajı göster

    3.
    0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor
    evet n=4 ve n=10 cevapları bulunuyor şöylede yapabilirsiniz tektek n=0,2,4,6,8,10 yazmak yerine

    n=2t ise
    22t+65=x²
    65=x²-(2t)2
    65=(x-2t)(x+2t) burada 65=1.65 yada 65=5.13 için

    x-2t=1
    x+2t=65 ise 2x=66 ve x=33 ve t=5 ve nihayet n=10 olur

    x-2t= 5
    x+2t=13 ise 2x=18 ve x =9 ve t= 2 ve nihayet n=4 olur

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. sayılar, üslü sayılar, mutlak değer, köklü sayılar
    aligüncan bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 7
    Son mesaj : 06 Şub 2011, 23:53
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları