Sayılar teoresi

1) Basamakları toplamı 900 olan bir tamkare bulunuz.

2)2p⁴-p²+16 sayısının tam kare olmasını sağlayan p asal sayılarını bulunuz.

3)Hangi n pozitif tam sayısı için 2ⁿ+65 tam karedir?

4)n pozitif bir tam sayı olmak üzere n²+3n+5 sayısının 121 in katı olamayacağını gösteriniz.

5)Bir tanesi dışında tüm basamakları 5 olan 1000 basamaklı bir sayının tam kere olamayacağını gösteriniz.

5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek

aerturk39'den alıntı:

5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek

teşekkür ederim :)

4)
biraz uzun oldu ama sanirsam çikiyo :)
n sayisinin 11 e göre modlarini inceleyelim:
n≡0 --> n²+3n+5=5 mod(11)
n≡1 --> n²+3n+5=9 mod(11)
n≡-1 --> n²+3n+5=3 mod(11)
n≡2 --> n²+3n+5=4 mod(11)
n≡-2 --> n²+3n+5=3 mod(11)
n≡3 --> n²+3n+5=1 mod(11)
n≡-3 --> n²+3n+5=5 mod(11)
n≡4 --> n²+3n+5=0 mod(11) **** demekki n²+3n+5=11k+4 formunda olmali 121 e bölünebilmesi için
n≡-4 --> n²+3n+5=9 mod(11)
n≡5 --> n²+3n+5=1 mod(11)
n≡-5 --> n²+3n+5=4 mod(11)
n =11k+4 için:
(11k+4)²+3(11k+4)+5 i 121 e göre inceleyeceğiz = 121k²+88k+16+33k+12+5
=121k²+121k+33=33 mod(121)

1.
örneğin (333...3)²=11...1088...89 sayısının rakamları toplamı 900 dür. (900 tane 3,1 ve 8 kullanılmış)
bu örneklerin sayısı arttırılabilir sanıyorum.
(33...3)² nin neden aynı sayıda 1 ve 8 olmak üzere 11...1088...89 olduğunu göstermek de çok zor değildir heralde onu size bırakalım.

2.
p≠3 için
p²=p⁴=1 (mod3) olur
bu sayı da 2.1-1+16=2-1+1=2 (mod3) ve bu da tamkare olamaz çünkü hiçbir sayının karesi mod3 te 2 olamaz.
p=3 için
81.2-9+16=169 tamkaredir yani sadece p=3 için bu ifade tamkare olur

3.
n çift ise n=2t
t>5 için
(2^t)²<2^2t+65=2^2t+2.2⁵+1<(2^t+1)² yani tamkare olamaz

n tek ise 5 modunda incelendiğinde
2ⁿ+65=2ⁿ=2 veya 3 (mod5)
5 modunda herhangi bir sayının karesi 2 veya 3 olamaz (kareler 0,1,4)

kısaca bu ifade tamkare ise n çift ve 10 dan küçük eşit olmalı
0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor

4.
arkadaşımız çözmüş ama biraz daha kısa olduğu için bu yolu da yazalım
n²+3n+5 sayısı 121 in katı olsun
(n+7)²=n²+3n+5+11.(n+4) , eşitliğinde sağ taraf 11 e bölünecektir öyleyse sol taraf da 11 e ve dolayısıyla 121 e bölünmelidir. (n+7=0 (mod11) n=4 (mod11))
sol taraf 121 e bölündüğüne göre sağ taraf da bölünmelidir
11.(n+4) =0 (mod121)
n+4=0 (mod11)
n=7 mod11
n=4 ve n=7 (mod11) bir sayı olamayacağına göre baştaki kabul yanlıştır.

5.
bunu da hocamız yapmış ama şöyle biraz daha kısa olabilir (mantık aynı başka nasıl çözebiliriz ki zaten :) )
bu sayının 5 tan farklı olan basamağındaki rakam x olsun öyleyse bu sayı 3 modunda x e denk olur yani x=2,5,8 olamaz (karesi 2 olan sayı yok)
sonu 5 olan bir tamkare 5 e bölünüyordur öyleyse sonu 25 olmalıdır , x=2 durumu olamıyordu demek ki sonu 5 değil.
sonu 55x için 8 modunda incelenirse kareler sadece 0,1,4 e denk olabiliyordu
x=2,3 veya 6
sonu 2 veya 3 olan tamkare olamaz.
x=6 olduğunda sayı kare sayımız 3 e bölünür dolayısıyla 9 a da bölünmeli ama 9 modunda 6 ya denk olduğu görülüyor yani bu da olamaz.

burada 1. soru için 1 ve 8 lerin sayısı 1 eksik olacak. sanırım orası hemen anlaşılabilecek bir hata.

teşekkür ederim hepinize :)5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.

sentetikgeo'den alıntı:

teşekkür ederim hepinize :)5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.

her k rakamı için (....k5) sayılarının kareleri mod100 için
(k5)²=(10k+5)²=100k²+100k+25 ≡25 (mod100)

demekki birler basamağı 5 olan tüm sayıların karesi alınınca sonucun son ikirakamı ....25 şeklinde olmalı ama biz 555....5555545 olsun istiyorduk çelişki.

gereksizyorumcu'den alıntı:

3.
0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor

evet n=4 ve n=10 cevapları bulunuyor şöylede yapabilirsiniz tektek n=0,2,4,6,8,10 yazmak yerine

n=2t ise
2^2t+65=x²
65=x²-(2^t)²
65=(x-2^t)(x+2^t) burada 65=1.65 yada 65=5.13 için

x-2^t=1
x+2^t=65 ise 2x=66 ve x=33 ve t=5 ve nihayet n=10 olur

x-2^t= 5
x+2^t=13 ise 2x=18 ve x =9 ve t= 2 ve nihayet n=4 olur