1. #1

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    Sayılar teoresi

    1) Basamakları toplamı 900 olan bir tamkare bulunuz.

    2)2p4-p2+16 sayısının tam kare olmasını sağlayan p asal sayılarını bulunuz.

    3)Hangi n pozitif tam sayısı için 2n+65 tam karedir?

    4)n pozitif bir tam sayı olmak üzere n2+3n+5 sayısının 121 in katı olamayacağını gösteriniz.

    5)Bir tanesi dışında tüm basamakları 5 olan 1000 basamaklı bir sayının tam kere olamayacağını gösteriniz.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
    n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
    Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
    İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
    k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
    Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
    Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer

    Sponsorlu Bağlantılar

    5)1000 rakamlı sayı n olsun sayının son iki rakamı 55 ise mod4 için
    n=......55 (mod4)=3 kare sayılar mod4 için 0,1 olabilir ancak
    Şimdi birler basamağı 5 olmasın n=555...5555k ise k=2,3,6,7 için mod4
    İşe yaramaz ama bu kez k=2 ise mod3 bakın(neden)? k=3,6 için (mod9) bakın
    k=7 için 5555...5557 mod8 bakın kareler mod8 de 5 olmaz
    Aynı incelemeleri onlar basamağı 5 olmasın n=555...5555k5 için kendiniz yapmaya çalışın
    Diğer sorularınıza yarın cevap yazarım cevaplamazsa çıkmam gerek
    teşekkür ederim

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    4)
    biraz uzun oldu ama sanirsam çikiyo
    n sayisinin 11 e göre modlarini inceleyelim:
    n≡0 --> n²+3n+5=5 mod(11)
    n≡1 --> n²+3n+5=9 mod(11)
    n≡-1 --> n²+3n+5=3 mod(11)
    n≡2 --> n²+3n+5=4 mod(11)
    n≡-2 --> n²+3n+5=3 mod(11)
    n≡3 --> n²+3n+5=1 mod(11)
    n≡-3 --> n²+3n+5=5 mod(11)
    n≡4 --> n²+3n+5=0 mod(11) **** demekki n²+3n+5=11k+4 formunda olmali 121 e bölünebilmesi için
    n≡-4 --> n²+3n+5=9 mod(11)
    n≡5 --> n²+3n+5=1 mod(11)
    n≡-5 --> n²+3n+5=4 mod(11)
    n =11k+4 için:
    (11k+4)²+3(11k+4)+5 i 121 e göre inceleyeceğiz = 121k²+88k+16+33k+12+5
    =121k²+121k+33=33 mod(121)

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    1.
    örneğin (333...3)²=11...1088...89 sayısının rakamları toplamı 900 dür. (900 tane 3,1 ve 8 kullanılmış)
    bu örneklerin sayısı arttırılabilir sanıyorum.
    (33...3)² nin neden aynı sayıda 1 ve 8 olmak üzere 11...1088...89 olduğunu göstermek de çok zor değildir heralde onu size bırakalım.

    2.
    p≠3 için
    p²=p⁴=1 (mod3) olur
    bu sayı da 2.1-1+16=2-1+1=2 (mod3) ve bu da tamkare olamaz çünkü hiçbir sayının karesi mod3 te 2 olamaz.
    p=3 için
    81.2-9+16=169 tamkaredir yani sadece p=3 için bu ifade tamkare olur

    3.
    n çift ise n=2t
    t>5 için
    (2t)²<22t+65=22t+2.25+1<(2t+1)² yani tamkare olamaz

    n tek ise 5 modunda incelendiğinde
    2n+65=2n=2 veya 3 (mod5)
    5 modunda herhangi bir sayının karesi 2 veya 3 olamaz (kareler 0,1,4)

    kısaca bu ifade tamkare ise n çift ve 10 dan küçük eşit olmalı
    0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor

    4.
    arkadaşımız çözmüş ama biraz daha kısa olduğu için bu yolu da yazalım
    n²+3n+5 sayısı 121 in katı olsun
    (n+7)²=n²+3n+5+11.(n+4) , eşitliğinde sağ taraf 11 e bölünecektir öyleyse sol taraf da 11 e ve dolayısıyla 121 e bölünmelidir. (n+7=0 (mod11) n=4 (mod11))
    sol taraf 121 e bölündüğüne göre sağ taraf da bölünmelidir
    11.(n+4) =0 (mod121)
    n+4=0 (mod11)
    n=7 mod11
    n=4 ve n=7 (mod11) bir sayı olamayacağına göre baştaki kabul yanlıştır.

    5.
    bunu da hocamız yapmış ama şöyle biraz daha kısa olabilir (mantık aynı başka nasıl çözebiliriz ki zaten )
    bu sayının 5 tan farklı olan basamağındaki rakam x olsun öyleyse bu sayı 3 modunda x e denk olur yani x=2,5,8 olamaz (karesi 2 olan sayı yok)
    sonu 5 olan bir tamkare 5 e bölünüyordur öyleyse sonu 25 olmalıdır , x=2 durumu olamıyordu demek ki sonu 5 değil.
    sonu 55x için 8 modunda incelenirse kareler sadece 0,1,4 e denk olabiliyordu
    x=2,3 veya 6
    sonu 2 veya 3 olan tamkare olamaz.
    x=6 olduğunda sayı kare sayımız 3 e bölünür dolayısıyla 9 a da bölünmeli ama 9 modunda 6 ya denk olduğu görülüyor yani bu da olamaz.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    burada 1. soru için 1 ve 8 lerin sayısı 1 eksik olacak. sanırım orası hemen anlaşılabilecek bir hata.

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    teşekkür ederim hepinize 5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni
    teşekkür ederim hepinize 5. soruda .........x5 için x 4 olursa tam kare olamayacağını gösteremedim.
    her k rakamı için (....k5) sayılarının kareleri mod100 için
    (k5)2=(10k+5)2=100k2+100k+25 ≡25 (mod100)

    demekki birler basamağı 5 olan tüm sayıların karesi alınınca sonucun son ikirakamı ....25 şeklinde olmalı ama biz 555....5555545 olsun istiyorduk çelişki.

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Matematik Öğretmeni

    3.
    0,2,4,6,8,10 için incelenir galiba sadece 4 ve 10 için tamkare oluyor
    evet n=4 ve n=10 cevapları bulunuyor şöylede yapabilirsiniz tektek n=0,2,4,6,8,10 yazmak yerine

    n=2t ise
    22t+65=x²
    65=x²-(2t)2
    65=(x-2t)(x+2t) burada 65=1.65 yada 65=5.13 için

    x-2t=1
    x+2t=65 ise 2x=66 ve x=33 ve t=5 ve nihayet n=10 olur

    x-2t= 5
    x+2t=13 ise 2x=18 ve x =9 ve t= 2 ve nihayet n=4 olur

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. sayılar, üslü sayılar, mutlak değer, köklü sayılar
      aligüncan, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 7
      : 06 Şub 2011, 21:53
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları