1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    Fikir Ispat soruları

    1) ve sayılarının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

    2) , ab<0 ve a>0 ise olduğunu gösteriniz.

    3) a>0 b>0 ve olmak üzere, a>b ise gösteriniz.

    4) x eksenine , y eksenine ve (3.6) noktasıına aynı uzaklıkta olan noktayı bulun.

    5) x²+y²=1 çemberinde bulunan ve (1,3) ile (-2,2) noktalarına aynı uzaklıkta olan nok. bulunuz.

    Üniversite hayatımın ilk proje ödevi

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    C.1
    Çelişki Metoduyla İspat:
    Kabul : Diyelim ki √6 rasyonel olsun. O halde;
    √6'yı a ve b aralarında asal iki tam sayı olmak üzere a/b şeklinde yazabiliriz. Çünkü bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.
    √6=a/b olur. İçler dışlar çarpımı yaparsak;
    b.√6=a olur. Her tarafın karesini alırsak;
    6b²=a² olur.
    Bu durumda a²'nin içinde mutlaka 6 çarpanı olmalı. 6 çarpanı varsa a²'nin içinde, 36 çarpanı da vardır. Çünkü bir tamsayının karesinden bahsediyoruz.
    Madem a²'nin içinde 36 çarpanı var, o halde b²'nin içinde de 6 çarpanı var. 6 çarpanı varsa; 36 çarpanı var. ............... Böylece gideriz. Zaten ilerisine gitmeye gerek yok. Çünkü baştaki kabulümüzle çeliştik. Demiştik ki, a ve b aralarında asal iki tamsayıdır. Ama şimdi de diyoruz ki; a² ve b²'nin ortak çarpanları var.
    Dolayısıyla baştaki kabülümüzle çelişmiş oluruz.Dolayısıyla √6 rasyonel değildir. Böylece ispat biter.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    C.1
    Gelelim √5-1 'e. Aynı mantıktan gidelim.
    √5-1 sayısının rasyonel olduğunu kabul edelim. O halde; a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılabilir.
    √5-1=a/b ise;
    √5=(a+b)/b olur.
    NOT: İspat içinde bir başka ispat yapalım.
    Kabul: a ve b aralarında asal olmak üzere; a+b sayısı ile b sayısı aralarında asal olmasın. O halde;
    x tamsayı olmak üzere a+b=b.x 'dir. a=b(x-1)
    Burada a ve b'nin baştaki kabülümüzde olduğu gibi asal bir sayı olması için kesinlikle a=b olmalı. Diğer durumlarda a ve b asal olmaz.
    O halde;
    a ve b asal iki sayı ise "a+b ile b" ya aralarında asaldır ya da a=b' dir. Soruya dönelim.
    √5=(a+b)/b demiştik.
    a+b ile b aralarında asal olamaz. (Bunun ispatını zaten ilk çözümde yaptık.) O halde geriye tek seçenek kalır: a=b olmalı. Ancak a=b olamaz. Çünkü a=b kabul edersek;
    √5=2 olur. Bu da yanlıştır.
    Dolayısıyla √5-1 sayısı a ve b aralarında asal olmak üzere a/b şeklinde yazılamaz. Ancak bütün rasyonel sayılar bu şekilde yazılabilir.O halde √5-1 rasyonel değildir. İrrasyoneldir.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    C.2
    Kabul edelim ki;
    a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a<1/b olsun.
    1/a<1/b Payda eşitlersek;
    b/ab<a/ab olur. ab<0 olduğuna göre, eşitsizliğin her iki tarafını ab ile çarparsak ab<0 olduğuna göre eşitsizlik yön değiştirir.
    b>a olur.
    a>0 olduğuna göre; b>a>0 olur. Eşitsizliklerde geçişme özelliğinden; b>0 olur.
    b>0 eşitsizliğinde her iki tarafı a ile çarparsak a>0 olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez.
    ab>0 olur. Bu da baştaki kabülümüzle çelişir. Dolayısıyla 1/a<1/b olamaz.
    Tamam o zaman, kabül edelim ki; a,b∈R, ab<0, a>0 ve 1/a=1/b olsun.
    1/a=1/b ise içler dışlar çarpımında a=b olur.
    ab<0 denkleminde b yerine a yazarsak;
    a²<0 olur. Bu da baştaki a,b∈R kabülümüzle çelişir.
    Dolayısıyla 1/a=1/b de olamaz.
    Dolayısıyla 1/a>1/b olur.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    C.3
    Soru hatalı. Çünkü 0 da bir doğal sayı ancak a0=b0=1 'dir. Neyse, ben soruyu n≠0 için çözüyüm.
    Kabul edelim ki; a>0,b>0,a>b ve an>bn olsun.
    an>bn ise bu şu anlama gelir: a ve b sayılarının aynı doğal sayı kuvvetlerinden a'nınki daha büyüktür. Dolayısıyla n yerine n-1 de konulabilir. Yani an-1<bn-1 olur.
    Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla a 'nın ve b'nin her kuvveti pozitiftir.
    a>b eşitsizliğinde; her tarafı an-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
    an>b.an-1 olur.
    a>b eşitsizliğinde; her tarafı bn-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
    a.bn-1>bn olur.

    a>0 eşitsizliğini b ile çarparsak; a.b>0 olur.
    a.b>0 ve an-2>bn-2 olduğundan;
    a.b.an-2>.a.b.bn-2 olur.
    b.an-1>a.bn-1 olur.
    Önceden bulduğumuz;
    an>b.an-1 ve a.bn-1>bn eşitsizlikleriyle b.an-1>a.bn-1 eşitsizliklerini birleştrirsek;
    an>b.an-1>a.bn-1>bn
    Geçişme:
    an>bn olur.
    Dolayısıyla baştaki kabulümüzle çelişmemiş oluruz. Baştaki kabülümüz kendiyle çelişmediği için doğrudur.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    C.3
    Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir. Dolayısıyla; a>0 ise an-1>0 ve b>0 ise bn-1>0 olur.
    a>b eşitsizliğinde; her tarafı an-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmez.
    an>b.an-1 olur.
    a>b eşitsizliğinde; her tarafı bn-1 ile çarparsak eşitsizlik yön değştirmez.
    a.bn-1>bn olur. Bu iki eşitsizliği birleştirirsek;
    an>b.an-1>bn olur.
    Geçişme özelliğinden; an>bn olur.
    en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. an-bn i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.bn-1 ile an-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
    neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    Üniversite
    4 ve 5 için yardımcı olabilir misiniz ?

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    en sinir olduğum soru tarzıdır, 2 nin 1 den büyük olduğunu gösteriniz diye sorar bırakırlar. insan ne yapacağını şaşırır. tümevarım yapsan değmez. an-bn i (a-b).(hepsi pozitif olan bir ifade) şeklinde açsan bu taş bu kuşa atılır mı diye sorarlar , en sonunda soru size bi yerde hata yaptırır. çözümünüzde de a.bn-1 ile an-1.b nin ya aynı olduğu kabul edilmiş ya da bunların sıralanması es geçilmiş.
    neyse işte ecnebiler böyle sorularda tek kelimelik cevap veriyorlar "trivial".
    Orayı gözden kaçırmışım. Ama şimdi düzelttim. Bu konuda da size katılıyorum. En iyisi "trivial"

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Diğer
    4.
    nokta x ve y ye aynı uzaklıktaysa x=y doğrusu üzerindedir
    noktamız (a,a) olsun bu durumda (3,6) noktasına uzaklığı a olmalıdır
    (a-3)²+(a-6)²=a² → (a-3).(a-15)=0 → a=15 veya a=3 yani (3,3) ve (15,15) noktaları işimizi görür

    5.
    verilen iki noktanın ortadikmesi üzerindeki noktalar bu iki noktaya eşit uzaklıktadır. bu dikmenin denklemi yazılıp çemberle ortak çözülürse 2 tane nokta bulunacaktır. orta dikmenin denklemi
    y-5/2=-3.(x+1/2) ya da düzenlersek y=-3x+1 olur , çember denkleminde yerine yazalım
    x²+(-3x+1)²=1
    10x²-6x=0 → x=0 veya x=3/5 , buradan noktalar (0,1) ve (3/5,-4/5) bulunur

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    11. sınıf
    C.4
    Bir noktanın x eksenine uzaklığı ordinatının mutlak değeri, y eksenine uzaklığı ise apsisinin mutlak değeridir. Dolayısıyla noktamız x,y ise x=y veya x=-y olur.
    x=y alırsak;
    Noktanın (3,6)'ya uzaklığı ise (x-3)²+(x-6)²'nin kareköküdür.
    2x²-18x+45=x²
    x²-18x+45=0
    (x-15).(x-3)=0
    x=15 V x=3 olur. Buradan (3,3) ve (15,15) noktaları gelir.
    x=-y alırsak;
    (x-3)²+(-x-6)²=x²
    2x²+6x+45=x²
    x²+6x+45=0
    Denklemin reel kökü yok.


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. Temel Kavramlar Soruları Çözümleri (Konu Kavrama Soruları)
      korkmazserkan, bu konuyu "Çözümlü Matematik Soruları" forumunda açtı.
      : 3
      : 25 Haz 2013, 11:52
    2. Yaş Problemleri Soruları Çözümleri (Konu Kavrama Soruları)
      korkmazserkan, bu konuyu "Çözümlü Matematik Soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 18 Haz 2013, 17:52
    3. Ispat
      nightmare, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 11 May 2012, 23:20
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları