Bu sayıyı x,y,z birer tamsayı olacak şekilde ;
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.
Bu sayıyı x,y,z birer tamsayı olacak şekilde ;
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.
A=4x+3=7y+4=3z şeklinde yazıp her tarafa 45 eklersek;
A+45=4(x+12)=7(y+7)=3(z+15) olur. 3,4,7'nin ekoku 84. O zaman A+45=84 deriz. A=39 olur. Zaten diğer durumlarda A sayısı 84'den büyük olur ki kalan bölenden büyük olamaz.
Benzer bir soru daha sorayım. Daha sonra benim benzer (fakat önemli bir ayrıntısı olan, başka çok az bir yerde görebileceğiniz
) çözümü veririm bu ikisi için:Manuel işlem ve kalkülatör kullanmadan, 678578478378278 . 923834745656 çarpımının 99'la bölümünden kalan kaçtır?
Cevap 67 mi hocam ?
Çözümüm de şöyle:
678578478378278=A
3 ile bölümünden kalan 5,
9 ile bölümünden kalan 5,
11 ile bölümünden kalan 5,
Demek ki A sayısının 99 ile bölümünden kalan 5 imiş.
923834745656=B
3 ile bölümünden kalan 2,
9 ile bölümünden kalan 8,
11 ile bölümünden kalan 9,
B=3x+2=9y+8=11z+9
B+46=3x+48=9x+54=11x+63
B+46=(3,9,11)okek
B+46=99m
m=1 için;
B=-46+99=53
A.B≡5.53≡67 (mod99)
Çözümüm de şöyle:
678578478378278=A
3 ile bölümünden kalan 5,
9 ile bölümünden kalan 5,
11 ile bölümünden kalan 5,
Demek ki A sayısının 99 ile bölümünden kalan 5 imiş.
923834745656=B
3 ile bölümünden kalan 2,
9 ile bölümünden kalan 8,
11 ile bölümünden kalan 9,
B=3x+2=9y+8=11z+9
B+46=3x+48=9x+54=11x+63
B+46=(3,9,11)okek
B+46=99m
m=1 için;
B=-46+99=53
A.B≡5.53≡67 (mod99)
Sağ olun hocam. Soruya gelince, Önceki soruyla aynı mantıktan 99'u aralarında asal iki çarpana ayırırız. 9.11 uygun sayılar. Daha sonra bu sayıların 9 ve 11'e bölümünden kalanları 9 ve 11'e bölünebilme kurallarına göre buluruz. Sayının rakamları toplamı 9'a bölümünden kalanı verir. 11 için de sayıyı en sağından başlayıp +,- şeklinde gruplandırırız. Bulduğumuz sayı bize o sayının 11'den kalanını verir. Eğer negatif bir sayıya ulaşırsak da modüler aritmetikteki denklik gibi bir mantık kurup sayının mod 11'deki denkliğini bulacağız.
Bunlara göre ilk sayının 9'dan ve 11'den kalanı 5 oluyor. Bu sayıya "B" diyelim. Bizim aradığımız, B'nin 99'dan kalanı. Bu kalana da x diyelim.
a bir tamsayı o.ü. B=99a+x'dir. 99a'nın 9'dan kalanı 0, B'nin ise 5 o halde x'in 99'dan kalanı 5 olmalı. (Çünkü bir toplamın bir tamsayıya bölümünden kalan toplanan sayıların o tamsayıya bölümünden kalanların toplamına eşittir.) Aynı şeyi 11 için de yaparsak x'in 11'den kalanını da 5 buluruz.
x öyle bir sayı ki 99'dan küçük ve 9 ve 11'den kalanları 5. Önceki mesajımda yaptığım işlemin aynısını yaparsak burada x=5 olduğunu görürüz.(Hatta bu sefer eşitliğin her tarafına bir sayı eklemeyip 5 çıkarırsak çok daha kolay olur işimiz.)
x'i yani, B'nin(ilk sayının) 99'dan kalanını bulduk.
Aynı işlemi 2. sayıya da uygularsak ikinci sayının 9'dan kalanı 8, 11'den kalanı 9 olur. Yine tamamen aynı mantıktan hareketle bu sayının 99'dan kalanını 53 buluruz. (Bu sayı biraz daha zorluyor. Çünkü önceki mesajımdaki işlemi yaparken eşitliğin her tarafına bu sefer eşitliğn her tarafına 46 ekliyoruz. )
Son olarak, bir çarpımın bir tam sayıya bölümünden kalanın çarpılan sayıların ayrı ayrı kalanları çarpımına eşit olduğunu uygularsak;
5.53=265 olur. 265'in de 99 ile bölümünden kalan 67 olur.
Bunlara göre ilk sayının 9'dan ve 11'den kalanı 5 oluyor. Bu sayıya "B" diyelim. Bizim aradığımız, B'nin 99'dan kalanı. Bu kalana da x diyelim.
a bir tamsayı o.ü. B=99a+x'dir. 99a'nın 9'dan kalanı 0, B'nin ise 5 o halde x'in 99'dan kalanı 5 olmalı. (Çünkü bir toplamın bir tamsayıya bölümünden kalan toplanan sayıların o tamsayıya bölümünden kalanların toplamına eşittir.) Aynı şeyi 11 için de yaparsak x'in 11'den kalanını da 5 buluruz.
x öyle bir sayı ki 99'dan küçük ve 9 ve 11'den kalanları 5. Önceki mesajımda yaptığım işlemin aynısını yaparsak burada x=5 olduğunu görürüz.(Hatta bu sefer eşitliğin her tarafına bir sayı eklemeyip 5 çıkarırsak çok daha kolay olur işimiz.)
x'i yani, B'nin(ilk sayının) 99'dan kalanını bulduk.
Aynı işlemi 2. sayıya da uygularsak ikinci sayının 9'dan kalanı 8, 11'den kalanı 9 olur. Yine tamamen aynı mantıktan hareketle bu sayının 99'dan kalanını 53 buluruz. (Bu sayı biraz daha zorluyor. Çünkü önceki mesajımdaki işlemi yaparken eşitliğin her tarafına bu sefer eşitliğn her tarafına 46 ekliyoruz. )
Son olarak, bir çarpımın bir tam sayıya bölümünden kalanın çarpılan sayıların ayrı ayrı kalanları çarpımına eşit olduğunu uygularsak;
5.53=265 olur. 265'in de 99 ile bölümünden kalan 67 olur.
Görmemişim çözümü, pardon.
Güzel...
1. soru için 84=3.4.7 ve (3,4,7)=1 olduğundan 3, 4 ve 7 ile bölümden kalanlar (84 modunda) bir tek ortak noktaları vardır.
3 ile bölümden kalan 0, 4 ile bölümden kalan 3 ve 7 ile bölümden kalan 4 olduğundan, ilgili modları kadar atlayarak ortak olanı arıyalım, bu ortak olan tek olacaktır zirâ:
3 --> 0, 3, 6, 9, ...., 36, 39, 42, ....
4 --> 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 44, ...
7 --> 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, ...
Bu üç sayının bölümlerinden ortak olan 39 olduğuna göre, 84 ile bölümden kalan da 39'dur. Yukarıda bahsedeceğim dediğim olay bu idi.
Diğer verdiğim ikinci soru ise, yine aynı mantıkla:
9.11=99 ve (9,11)=1 olduğundan,
9'la bölme için: (678578478378278) ---> 6+7+8+..2+7+8=95 --> 95 denktir 5 (mod 9)
9'la bölme için: (923834745656) ---> 9+2+...6+5+6=62 --> 62 denktir 8 (mod 9)
---> (678578478378278).(923834745656)=5.8=40=4=kalan (mod 9)
11'le bölme için: (678578478378278) ---> 50-45=5 --> 5 denktir 5 (mod 11)
11'le bölme için: (923834745656) ---> 30-32=-2 --> -2 denktir 9 (mod 11)
---> (678578478378278).(923834745656)=5.9=45=1=kalan (mod 11)
İlgili modlarda aryarak ortak olanı bulalım:
9 ---> 4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 (atlamayı burada kesiyorum, çünkü kalanın 99'dan ufak olduğunu biliyorum.)
11 --> 1 12 23 34 45 56 67 78 89 90
Demek ki, bu iki sayının çarpımının 99 ile bölümünden kalan 67'dir.
1. soru için 84=3.4.7 ve (3,4,7)=1 olduğundan 3, 4 ve 7 ile bölümden kalanlar (84 modunda) bir tek ortak noktaları vardır.
3 ile bölümden kalan 0, 4 ile bölümden kalan 3 ve 7 ile bölümden kalan 4 olduğundan, ilgili modları kadar atlayarak ortak olanı arıyalım, bu ortak olan tek olacaktır zirâ:
3 --> 0, 3, 6, 9, ...., 36, 39, 42, ....
4 --> 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 44, ...
7 --> 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, ...
Bu üç sayının bölümlerinden ortak olan 39 olduğuna göre, 84 ile bölümden kalan da 39'dur. Yukarıda bahsedeceğim dediğim olay bu idi.
Diğer verdiğim ikinci soru ise, yine aynı mantıkla:
9.11=99 ve (9,11)=1 olduğundan,
9'la bölme için: (678578478378278) ---> 6+7+8+..2+7+8=95 --> 95 denktir 5 (mod 9)
9'la bölme için: (923834745656) ---> 9+2+...6+5+6=62 --> 62 denktir 8 (mod 9)
---> (678578478378278).(923834745656)=5.8=40=4=kalan (mod 9)
11'le bölme için: (678578478378278) ---> 50-45=5 --> 5 denktir 5 (mod 11)
11'le bölme için: (923834745656) ---> 30-32=-2 --> -2 denktir 9 (mod 11)
---> (678578478378278).(923834745656)=5.9=45=1=kalan (mod 11)
İlgili modlarda aryarak ortak olanı bulalım:
9 ---> 4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 (atlamayı burada kesiyorum, çünkü kalanın 99'dan ufak olduğunu biliyorum.)
11 --> 1 12 23 34 45 56 67 78 89 90
Demek ki, bu iki sayının çarpımının 99 ile bölümünden kalan 67'dir.
Değil, o kadar saf mı zannettin beni sınavınkızı?!
" :P " yok canım, zaten son rakam tekmiş, olamaz (!)
Burada son derece ciddi şeylerden bahsediyorum, bahsediyoruz. Sen ise işi sulandırıyor ve görüntü kirliliği yapıyorsun sınavınkızı.
Boş işlerle uğraşma bence, enerjini başka yerlere sarf et. Açtığım konuyu hiç yararı olmayan boş lakırtı ile bulandırma, lütfen.
gereksizyorumcu 23:26 01 May 2012 #19
hocam ben de yönteminize ufak bi ekleme yapayım.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)
not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)
not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.
hocam ben de yönteminize ufak bi ekleme yapayım.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)
not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.
mesela 84 e bölümü incelerken 0,3 ve 4 ten başlayıp 3,4 ve 7 şer sayarken
iki satırda aynı sayıya ulaşırsak mesela 3 sayısı hem 3 ün satırında hem 4 ün satırında var, bundan sonra o iki satırı birleştirip
adım büyüklüğümüzü de onların okek i (çarpımı) yapabiliriz. burası için ortak sayı 3ün üzerine 12 ekleyerek yolumuza devam edebiliriz (ya da 11 in üzerine 28 ekleyerek)
not: bu soruya uğraşan arkadaşlarımızın çin kalan teoremine ve uygulamalarına bi göz atmaları iyi olacaktır.
Diğer çözümlü sorular alttadır.