Üçgenlere bölme

1.Düzgün onyedigen birbirini kesmeyen 14 köşegeni ile kaç değişik şekilde 15 tane üçgene ayrılır?
2.Aynı soruyu düzgün n-gen için çözünüz.

Örneğin soru beşgen için sorulsaydı cevap 5 olacaktı.

Hocam bu 5 şeklin birbirinden farklı olduğunu düşünmüyorsunuzdur sanırım:-)

hocam döndürülerek çakıştıkları doğru ama biz bunları farklı kabul edelim. soruyu aldığım yerde bu şekil vardı. cevap yoktu ama bu şekil örnek olarak verildiğine göre farklı olarak kabul etmemiz istenmiş

bu sorunu soruda ufak bi düzeltmeyle giderebiliriz. çokgen düzgün olmasın da tüm kenarları farklı uzunlukta olsun.

soruyu şimdi okudum çözümüm bana çok basit geldi bişeyleri görememiş olabilirim ama yinede yanlış olması muhtemel çözümümü yazayım
n>4 için n-gende köşegenler birbirini kesmeyecekse bu çizilecek köşegenlerin mutlaka bir köşeden çıkıyor olması gerek demekki bir köşe için sadece bir çeşit çizim şansımız var herbir köşe için bir adet farklı çizim yapılır ve her köşeiçin yapılan çizimlerde oluşan resim birbirinden farklıdır(döndürmeleri farklı kabul ettik)
o halde n>4 için n değişik şekilde çizim yapılır
n=4 için karşılıklı köşeler aynı resmi verir o halde n=4 için cevap 2 dir

Altıgen için köşeleri A, B, C, D, E, F diye isimlendirelim. Sizin düşündüğünüze göre çizimler sadece AC, AD, AE köşegenleri ile mümkündür. (Basit olsun diye A ile başladım. Diğerleri için de durum benzerdir.) Oysa AC, AD ve DF birbirini kesmeyen ve altıgeni 4 üçgene ayıran köşegenlerdir. Ya da AC, AE, CE köşengeleri yine birbirini kesmeyen ve altıgeni 4 üçgene ayıran köşegenlerdir. Aslında n=6 için gereksizyorumcu(!) hocamızın düşündüğü haliyle cevap 14 olur. (Soruda verilen örnekteki 5 çizimi de aynı kabul edersek n=6 için cevap 3 olur.) n yi büyütürsek durum daha da karışık hale gelir.

Düşünmek isteyenlere biraz ipucu vereyim: Catalan Sayıları.

aynı köşeden çıkmak zorunda yazmışım yukarıdaki çözümde tabikide değil yazdıklarım yanlış şimdi farkettim

o halde cevap


C(2n,n)

tabi burada anladığım kadarıyla bu ifade bize n+2 kenarlı çokgende n tane üçgen oluşturan kaç değişik çizim yapılırın sonucunu veriyor.yani 17 gen için n=15 yazıcaz


C(30,15) gibi...

zaten daha öncede bu catalan sayılarını burada sorulan 2 sorudan (futbol maçı,bozuk para sorusu) hatırlıyoruz o soruların çözümüne catalan sayılarının uyarlanışını çok iyi anlamıştım hatta futbol maçı sorusunda gereksizyorumcunun fazlasıyla ittirmesi sonucu çözümü yapmıştım (koordinat ekseni ve x=y doğrusunun altında kalan yolların sayısı şeklinde catalan sayıları mantığına uyduruluyordu)
fakat bu sorunun catalan sayılarına nasıl uyarlandığına dair hiçbir fikrim yok

hocam bi tane ebookta gördüm bu soruyu.sadece sorulardan oluşuyor cevaplar ve çözümler yok
aşırı kolay olmayan soruları çıkardığımızda şimdilik uğraşıp da çözebildiğim 2-3 sorudan biri. zaten bazı soruların çözümü henüz yapılmamış onların yanına yıldız konulmuş direkt pas geçiyorum
bu soruda da ortaya çıkan durum hoşuma gittiği için yazmıştım.
sorunun çözümünü mathematics21 hocamız uygun bi zamanda yapacaktır.

eğer istenirse çözümlerini hatta cevaplarını bile bilmediğim güzel sorular yazabilirim. beraber uğraşırız

Estağfurullah hocam benim çözüm yazmamı beklemeyin lütfen. Ben sadece düşünme anlamında bir ipucu vermiştim. Biraz zaman alsın ve düşünmek isteyen arkadaşlar biraz daha düşünüp matematikten zevk almaya veya problemlerle uğraşmaya çalışsınlar demek istemiştim. Çözümü isteyen arkadaş istediği zaman yazabilir bence. Hatta hocam müsait olduğunuz zaman siz bir çözüm yazar mısınız lütfen?