Güzel bir soru:
∫
2∏
0
dx
1+cot4x
integralini hesaplayınız. (Okunmuyorsa, sınırlar (0,2pi))
fonksiyonun ilkel halini bulup çözmeye çalışmak çok fazla işlemi göze almayı gerektirir. ve hata yapma olasılığı yüksektir bu sorularda işin biraz şeytanlığına kaçmak gerek
cot4x=cos4x/sin4x ayrıca cot4x=1/tan4x olduğundan
verilen integrali iki ayrı şekilde A ve B olarak tekrar düzenlersek
A=dx/(1+cot4x)=(sin4xdx) / (sin4x+cos4x)
B=dx/(1+cot4x)=(cos4xdx) / (sin4x+cos4x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A+B=2∏
B integrali A nin x ekseninde ∏/2 kadar döndürülmesiyle oluştuğundan en önemli noktaya geldik A=B olduğunu görmeliyiz.
o halde A+B=2A=2∏ ise A=∏
cot4x=cos4x/sin4x ayrıca cot4x=1/tan4x olduğundan
∫
2∏
0
dx
1+cot4x
verilen integrali iki ayrı şekilde A ve B olarak tekrar düzenlersek
A=dx/(1+cot4x)=(sin4xdx) / (sin4x+cos4x)
B=dx/(1+cot4x)=(cos4xdx) / (sin4x+cos4x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A+B=2∏
B integrali A nin x ekseninde ∏/2 kadar döndürülmesiyle oluştuğundan en önemli noktaya geldik A=B olduğunu görmeliyiz.
o halde A+B=2A=2∏ ise A=∏
Uğraşınız için teşekkür ederim Sayın Hocam. Elinize sağlık.
Fakat:
Valla Hocam ben çözümden birşey anlamadım.
0'dan 2∏'ye olduğundan A+B=2∏'ye eşit olduğunu nasıl gördünüz?
∏/2 kadar dönmek?!. Bunu da anlamadım.
Kısaca:
Bunları edebî dilde değil de, cebrik olarak göstermek gerek. Bence çok muğlak-kapalı bir çözüm olmuş.
Fakat:
Valla Hocam ben çözümden birşey anlamadım.
0'dan 2∏'ye olduğundan A+B=2∏'ye eşit olduğunu nasıl gördünüz?
∏/2 kadar dönmek?!. Bunu da anlamadım.
Kısaca:
Bunları edebî dilde değil de, cebrik olarak göstermek gerek. Bence çok muğlak-kapalı bir çözüm olmuş.
0'dan 2∏'ye olduğundan A+B=2∏'ye eşit olduğunu nasıl gördünüz?
∏/2 kadar dönmek?!. Bunu da anlamadım.
A=∫(sin4x)dx / (sin4x+cos4x)
B=∫(cos4x)dx / (sin4x+cos4x)
A+B=∫(sin4x)dx / (sin4x+cos4x)+∫(cos4x)dx / (sin4x+cos4x)=∫(sin4x+cos4x) dx / (sin4x+cos4x)=∫dx=2∏
NOT:burada sınırlar her iki ifadede aynı reel sayı ise ∫a.dx+∫b.dx=∫(a+b)dx
∏/2 kadar döndürülmesi yanlış yazılmış bir ifade doğrusu ∏/2 kadar ötelenmesidir olacak
esenlikler dilerim iyi çalışmalar....
Tabiî ki integralin toplama üzerine dağılma özelliği...
A ile B'yi zaten eşit almışsınız. Öteleme demeden zaten A=B imiş yâni. Fakat diğer sağ taraflar farklı...
Halbuki:
Bunu öğrenciler anlamazlar. Bunu kasdetmiştim.
A=dx/(1+cot4x)=(sin4xdx) / (sin4x+cos4x)
B=dx/(1+cot4x)=(cos4xdx) / (sin4x+cos4x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A
B=dx/(1+cot4x)=(cos4xdx) / (sin4x+cos4x)
buradan A ile B yi toplarsak sonuç 1.dx yani dx sınırlar 0 dan 2∏ ye olduğundan
A
Halbuki:
1
1+cot4x
=
sin⁴x
sin4x+cos4x
Bunu öğrenciler anlamazlar. Bunu kasdetmiştim.
Benim çözüm şöyle:
