cos 2α = cos²α−sin²α ( sin²α = 1−cos²α ve cos²α = 1−sin²α kullanılarak formül düzenlenirse)
cos 2α = 2.cos²α −1 ve cos 2α = 1−2.sin²α
sin 2α = 2.sinα.cosα
Formüllerin İspatları
Iki yayın toplam yada farkının trigonometrik oranları (toplam fark formülleri),Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri ve Yarım Açı Formüllerinin ispatlarını buradan indirebilirsiniz
cos 2α = 2.cos²α −1 ve cos 2α = 1−2.sin²α
sin 2α = 2.sinα.cosα
tan 2α =
2.tanα
1−tan²α
cot 2α =
cot²α -1
2.cotα
Formüllerin İspatları
Iki yayın toplam yada farkının trigonometrik oranları (toplam fark formülleri),Dönüşüm ve ters dönüşüm formülleri ve Yarım Açı Formüllerinin ispatlarını buradan indirebilirsiniz
ÖRNEK 1:
olduğuna göre, sin2x'in değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
bize verilen ifadenin karesini alırsak
sin2x=2sinx.cosx olduğunu ve sin²x+cos²x=1 olduğunu biliyoruz.
ÖRNEK 2:
cos4(pi/12) - sin4(pi/12)
ÇÖZÜM 2:
x4 - y4 = (x2 - y2 ).(x2 + y2) özdeşliğinden
cos4(pi/12) - sin4(pi/12) = [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)]. [ cos2(pi/12) + sin2(pi/12) ] { cos2a+sin2a=1 olduğundan }
= [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)].1 { cos2a-sin2a=cos2a olduğundan }
= [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)]=cos(2pi/12)=cospi/6=cos30=√3/2
ÖRNEK 3:
cos4=x sin82=?
ÇÖZÜM 3:
sin82=cos8
cos2a=2.cos2a - 1 olduğundan
cos8=2.cos24 - 1
sin82=cos8=2.x2 - 1
sinx+cosx=
2
3
olduğuna göre, sin2x'in değeri kaçtır ?
ÇÖZÜM 1:
bize verilen ifadenin karesini alırsak
sin²x+2cosx.sinx+cos²x=
4
9
sin2x=2sinx.cosx olduğunu ve sin²x+cos²x=1 olduğunu biliyoruz.
sin2x=
4
9
−1
sin2x=−
5
9
ÖRNEK 2:
cos4(pi/12) - sin4(pi/12)
ÇÖZÜM 2:
x4 - y4 = (x2 - y2 ).(x2 + y2) özdeşliğinden
cos4(pi/12) - sin4(pi/12) = [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)]. [ cos2(pi/12) + sin2(pi/12) ] { cos2a+sin2a=1 olduğundan }
= [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)].1 { cos2a-sin2a=cos2a olduğundan }
= [ cos2(pi/12) - sin2(pi/12)]=cos(2pi/12)=cospi/6=cos30=√3/2
ÖRNEK 3:
cos4=x sin82=?
ÇÖZÜM 3:
sin82=cos8
cos2a=2.cos2a - 1 olduğundan
cos8=2.cos24 - 1
sin82=cos8=2.x2 - 1
Örnek :
1 - cos2x
1 + cos2x
=?
cos2x=1 - 2.sin2x
cos2x=2.cos2x -1 ifadeleri kullanılırsa
1 - cos2x
1 + cos2x
=
1 - (1 - 2.sin²x)
1 + 2.cos2x -1
=
2.sin²x
2.cos2x
= tan²x
Örnek :
1 + cosx + cos2x
sinx+sin2x
=?
1 + cosx + (2cos²x-1)
sinx+(2.sinx.cosx)
=
cosx.(1 + 2.cosx)
sinx.(1+2.cosx)
=
cosx
sinx
= cotx
Örnek : sin100=x ise cos10.cos20.cos40.cos80 ifadesinin x cinsinden değeri nedir ?
Verilen ifadede cos10 yanına çarpım olarak sin20 getirerek 2.sinx.cosx=sin2x elde edilerek gider.
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin10.cos10.cos20.cos40.cos80]/[2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin20.cos20.cos40.cos80]/[2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin20.cos20.cos40.cos80]/[2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin40.cos40.cos80]/[2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin40.cos40.cos80]/[2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [sin80.cos80]/[2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = [2.sin80.cos80]/[2.2.2.2.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = sin160/[16.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = sin20/[16.sin10]=[2.sin10.cos10]/[16.sin10]
cos10.cos20.cos40.cos80 = cos10/8=x/8
Örnek : sin7+cos7=√a olduğuna göre cos28 ifadesinin eşiti nedir ?
(sin7+cos7)²=a
sin²7+2sin7.cos7+cos²7=a
sin14=a-1
cos28=1-2sin²14
=1-2(a-1)²
=-2a²+4a-1 bulunur.
Örnek :
cosx=m olduğuna göre cos3x'in m cinsinden değeri nedir ?
cos(3x)=cos(x+2x)=cos2x.cosx-sin2x.sinx
=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx
=(2cos²x-1).cosx-(2sinxcosx).sinx
=2cosx³x-cosx-2(1-cos²x).cosx
=2cos³x-cosx-2cosx+2cos³x
=4cos³x-3cosx
=4m³-3m bulunur.
Diğer çözümlü sorular alttadır.