MatematikTutkusu.com Forumları

a.sinx+b.cosx ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulma

Serkan A. - ait kullanıcı resmi (Avatar) Serkan A. 02:01 05 Mar 2012 #1
f(x)=a.sinx+b.cosx ifadesini "a" parantezine alalım.

f(x)=a(sinx+
b
a
.cosx)



Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek
tany=
b
a
dersek



siny
cosy
=
b
a



f(x)=a(sinx+
siny
cosy
.cosx)




f(x)=
a.(sinx.cosy+siny.cosx)
cosy
=
a.sin(x+y)
cosy




Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek

cosy=
a
a²+b²
olacaktır.



O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz


f(x)=
a.sin(x+y)
a/√a²+b²




f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani

f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.


Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.

O halde f(x)'in en büyük değeri

f(x)max=√a²+b²


f(x)'in en küçük değeri

f(x)min= − √a²+b²

Kaynak: http://goo.gl/CJas7

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 15:40 05 Mar 2012 #2
ÖRNEK:

T=3cosx+4sinx

olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?

ÇÖZÜM:

Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.

T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.

T=3.(cosx+
4
3
.sinx) ...(*)



4
3
=tanα olduğundan dik üçgen oluşturursak:







Üçgene göre, cosα=
3
5
olur.



Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.


T=3.(cosx+
4
3
.sinx)



=3(cosx+tanα.sinx)


=3.(cosx+
sinα
cosα
.sinx)



=3.(
cosx.cosα
cosα
+
sinα.sinx
cosα
) (burada cosx ifadesini cosα ile çarpıp böldük)



=3(
cosx.cosα+sinα.sinx
cosα
) (dikkat edersek cosinus'un fark formülü görülür.)



=3
cos(x-α)
cosα



Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.


=3.
5
3
.cos(x-α)



T=5.cos(x-α) dır.

Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda Tmax=5 olur.

Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.

Yani,

Kısacası:

Tmax=√3²+4²=5 bulunur.

Serkan A. - ait kullanıcı resmi (Avatar) Serkan A. 18:11 05 Mar 2012 #3
Sağol Duygu. Böyle çok güzel oldu.

duygu95 - ait kullanıcı resmi (Avatar) duygu95 19:55 05 Mar 2012 #4
Siz de sağolun hocam. Formülün nereden geldiğini merak edenler için iyi oldu.


Diğer çözümlü sorular alttadır.
Trigonometri Formülleri
Tüm Etiketler

Üst Forum
Anasayfa
Yukarı Standart Görünüm