1. #1

    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni

    a.sinx+b.cosx ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulma

    f(x)=a.sinx+b.cosx ifadesini "a" parantezine alalım.

    f(x)=a(sinx+
    b
    a
    .cosx)



    Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek
    tany=
    b
    a
    dersek



    siny
    cosy
    =
    b
    a



    f(x)=a(sinx+
    siny
    cosy
    .cosx)




    f(x)=
    a.(sinx.cosy+siny.cosx)
    cosy
    =
    a.sin(x+y)
    cosy




    Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek

    cosy=
    a
    a²+b²
    olacaktır.



    O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz


    f(x)=
    a.sin(x+y)
    a/√a²+b²




    f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani

    f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.


    Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.

    O halde f(x)'in en büyük değeri

    f(x)max=√a²+b²


    f(x)'in en küçük değeri

    f(x)min= − √a²+b²

    Kaynak: http://goo.gl/CJas7

  2. #2

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    ÖRNEK:

    T=3cosx+4sinx

    olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?

    ÇÖZÜM:

    Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.

    T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.

    T=3.(cosx+
    4
    3
    .sinx) ...(*)



    4
    3
    =tanα olduğundan dik üçgen oluşturursak:







    Üçgene göre, cosα=
    3
    5
    olur.



    Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.


    T=3.(cosx+
    4
    3
    .sinx)



    =3(cosx+tanα.sinx)


    =3.(cosx+
    sinα
    cosα
    .sinx)



    =3.(
    cosx.cosα
    cosα
    +
    sinα.sinx
    cosα
    ) (burada cosx ifadesini cosα ile çarpıp böldük)



    =3(
    cosx.cosα+sinα.sinx
    cosα
    ) (dikkat edersek cosinus'un fark formülü görülür.)



    =3
    cos(x-α)
    cosα



    Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.


    =3.
    5
    3
    .cos(x-α)



    T=5.cos(x-α) dır.

    Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda Tmax=5 olur.

    Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.

    Yani,

    Kısacası:

    Tmax=√3²+4²=5 bulunur.

  3. #3

    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni
    Sağol Duygu. Böyle çok güzel oldu.

  4. #4

    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    Siz de sağolun hocam. Formülün nereden geldiğini merak edenler için iyi oldu.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  1. Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!

Benzer konular

  1. En Büyük/En Küçük Sorusu
    sadecebiri bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 18 Ara 2014, 19:28
  2. En büyük/En küçük Değer Sorusu
    omervarol bu konuyu 9. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 2
    Son mesaj : 21 Kas 2014, 19:23
  3. sinx ve cosx ifadelerinin eşiti
    deancorll bu konuyu 10. sınıf matematik soruları forumunda açtı
    Cevap: 5
    Son mesaj : 20 Haz 2014, 14:45
  4. sayılar en büyük en küçük
    şadrıs bu konuyu Sohbet forumunda açtı
    Cevap: 1
    Son mesaj : 12 Nis 2012, 22:10
  5. sinx+2.cosx+3.tanx+4.cotx=10
    mthdyg bu konuyu Lise Matematik forumunda açtı
    Cevap: 2
    Son mesaj : 14 Eyl 2011, 12:23
Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları