1. #1

    Statü
    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    a.sinx+b.cosx ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulma

    f(x)=a.sinx+b.cosx ifadesini "a" parantezine alalım.

    f(x)=a(sinx+
    b
    a
    .cosx)



    Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek
    tany=
    b
    a
    dersek



    siny
    cosy
    =
    b
    a



    f(x)=a(sinx+
    siny
    cosy
    .cosx)




    f(x)=
    a.(sinx.cosy+siny.cosx)
    cosy
    =
    a.sin(x+y)
    cosy




    Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek

    cosy=
    a
    a²+b²
    olacaktır.



    O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz


    f(x)=
    a.sin(x+y)
    a/√a²+b²




    f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani

    f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.


    Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.

    O halde f(x)'in en büyük değeri

    f(x)max=√a²+b²


    f(x)'in en küçük değeri

    f(x)min= − √a²+b²

    Kaynak: http://goo.gl/CJas7

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    ÖRNEK:

    T=3cosx+4sinx

    olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?

    ÇÖZÜM:

    Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.

    T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.

    T=3.(cosx+
    4
    3
    .sinx) ...(*)



    4
    3
    =tanα olduğundan dik üçgen oluşturursak:







    Üçgene göre, cosα=
    3
    5
    olur.



    Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.


    T=3.(cosx+
    4
    3
    .sinx)



    =3(cosx+tanα.sinx)


    =3.(cosx+
    sinα
    cosα
    .sinx)



    =3.(
    cosx.cosα
    cosα
    +
    sinα.sinx
    cosα
    ) (burada cosx ifadesini cosα ile çarpıp böldük)



    =3(
    cosx.cosα+sinα.sinx
    cosα
    ) (dikkat edersek cosinus'un fark formülü görülür.)



    =3
    cos(x-α)
    cosα



    Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.


    =3.
    5
    3
    .cos(x-α)



    T=5.cos(x-α) dır.

    Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda Tmax=5 olur.

    Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.

    Yani,

    Kısacası:

    Tmax=√3²+4²=5 bulunur.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Site sahibi
    İş
    Matematik Öğretmeni

    Sponsorlu Bağlantılar

    Sağol Duygu. Böyle çok güzel oldu.

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Moderatör
    İş
    Üniversite
    Siz de sağolun hocam. Formülün nereden geldiğini merak edenler için iyi oldu.

Diğer çözümlü sorular için alttaki linkleri ziyaret ediniz


 

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Benzer konular

    1. En Büyük/En Küçük Sorusu
      sadecebiri, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 1
      : 18 Ara 2014, 17:28
    2. En büyük/En küçük Değer Sorusu
      omervarol, bu konuyu "9. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 2
      : 21 Kas 2014, 17:23
    3. sinx ve cosx ifadelerinin eşiti
      deancorll, bu konuyu "10. sınıf matematik soruları" forumunda açtı.
      : 5
      : 20 Haz 2014, 12:45
    4. sayılar en büyük en küçük
      şadrıs, bu konuyu "Sohbet" forumunda açtı.
      : 1
      : 12 Nis 2012, 20:10
    5. sinx+2.cosx+3.tanx+4.cotx=10
      mthdyg, bu konuyu "Ygs & Lys Matematik" forumunda açtı.
      : 2
      : 14 Eyl 2011, 10:23
    Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları