a.sinx+b.cosx ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bulma

f(x)=a.sinx+b.cosx ifadesini "a" parantezine alalım.

f(x)=a(sinx+

b

a

.cosx)

Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek

tany=

b

a

dersek

siny

cosy

=

b

a

f(x)=a(sinx+

siny

cosy

.cosx)

f(x)=

a.(sinx.cosy+siny.cosx)

cosy

=

a.sin(x+y)

cosy

Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek

cosy=

a

√a²+b²

olacaktır.

O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz

f(x)=

a.sin(x+y)

a/√a²+b²

f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani

f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.


Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.

O halde f(x)'in en büyük değeri

f(x)_max=√a²+b²


f(x)'in en küçük değeri

f(x)_min= − √a²+b²

Kaynak: http://goo.gl/CJas7

ÖRNEK:

T=3cosx+4sinx

olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?

ÇÖZÜM:

Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.

T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.

T=3.(cosx+

4

3

.sinx) ...(*)

4

3

=tanα olduğundan dik üçgen oluşturursak:

https://www.matematiktutkusu.com/for...4-5-ucgeni.jpg

Üçgene göre, cosα=

3

5

olur.

Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.

T=3.(cosx+

4

3

.sinx)

=3(cosx+tanα.sinx)

=3.(cosx+

sinα

cosα

.sinx)

=3.(

cosx.cosα

cosα

+

sinα.sinx

cosα

) (burada cosx ifadesini cosα ile çarpıp böldük)

=3(

cosx.cosα+sinα.sinx

cosα

) (dikkat edersek cosinus'un fark formülü görülür.)

=3

cos(x-α)

cosα

Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.

=3.

5

3

.cos(x-α)

T=5.cos(x-α) dır.

Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda T_max=5 olur.

Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.

Yani,

Kısacası:

T_max=√3²+4²=5 bulunur.

Sağol Duygu. Böyle çok güzel oldu.

Siz de sağolun hocam. Formülün nereden geldiğini merak edenler için iyi oldu.