f(x)=a.sinx+b.cosx ifadesini "a" parantezine alalım.
Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek
Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek
O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz
f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani
f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.
Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.
O halde f(x)'in en büyük değeri
f(x)max=√a²+b²
f(x)'in en küçük değeri
f(x)min= − √a²+b²
Kaynak: http://goo.gl/CJas7
f(x)=a(sinx+
b
a
.cosx)
Bir dik üçgende b ve a dik kenar uzunlukları olarak aldığımızda b açısının karşısındaki açıya "y" dersek
tany=
b
a
dersek
siny
cosy
=
b
a
f(x)=a(sinx+
siny
cosy
.cosx)
f(x)=
a.(sinx.cosy+siny.cosx)
cosy
=
a.sin(x+y)
cosy
Bu y açısı bulunan dik üçgende cosy yi bulmak istersek
cosy=
a
√a²+b²
olacaktır.
O zaman şimdi bu f(x) eşitliğimiz
f(x)=
a.sin(x+y)
a/√a²+b²
f(x)= sin(x+y).√a²+b² yani
f(x)=a.sinx+b.cosx=sin(x+y).√a²+b² dır.
Herhangi bir açının sinüsü −1 ile 1 arasında olacağından ( −1≤ sin(x+y) ≤ 1 ) bu fonksiyonun en büyük veya en küçük değeri için sin(x+y) en büyük 1 veya en küçük −1 alınmalıdır.
O halde f(x)'in en büyük değeri
f(x)max=√a²+b²
f(x)'in en küçük değeri
f(x)min= − √a²+b²
Kaynak: http://goo.gl/CJas7
ÖRNEK:
T=3cosx+4sinx
olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?
ÇÖZÜM:
Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.
T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.
Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.
=3(cosx+tanα.sinx)
Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.
T=5.cos(x-α) dır.
Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda Tmax=5 olur.
Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.
Yani,
Kısacası:
Tmax=√3²+4²=5 bulunur.
T=3cosx+4sinx
olduğuna göre, T nin alabileceği en büyük değer nedir ?
ÇÖZÜM:
Yukarıda verilen ispatın uygulamasını yapalım.
T=3cosx+4sinx olduğundan eşitliğin sağ tarafını 3 ortak çarpan parantezine almaya çalışalım.
T=3.(cosx+
4
3
.sinx) ...(*)
4
3
=tanα olduğundan dik üçgen oluşturursak:
Üçgene göre, cosα=
3
5
olur.
Şimdi (*)'da yaptığımız işlemi bulduğumuz verileri kullanarak düzenleyelim.
T=3.(cosx+
4
3
.sinx)
=3(cosx+tanα.sinx)
=3.(cosx+
sinα
cosα
.sinx)
=3.(
cosx.cosα
cosα
+
sinα.sinx
cosα
) (burada cosx ifadesini cosα ile çarpıp böldük)
=3(
cosx.cosα+sinα.sinx
cosα
) (dikkat edersek cosinus'un fark formülü görülür.)
=3
cos(x-α)
cosα
Yukarıdaki üçgenden cosα değerini bulmuştuk, yerine yazalım.
=3.
5
3
.cos(x-α)
T=5.cos(x-α) dır.
Kosinüsün en geniş tanım kümesi [1,-1] olduğundan cos(x-a) ifadesine en fazla 1 değerini verebiliriz. Bu durumda Tmax=5 olur.
Her zaman bu tarz bir soruda bu kadar uzun bir işlem yapmamıza gerek yoktur. Bunun için yukarıda yazan ispattan ulaştığımız sonucu kullanarak daha hızlı bir şekilde cevaba ulaşabiliriz.
Yani,
Kısacası:
Tmax=√3²+4²=5 bulunur.
Sağol Duygu. Böyle çok güzel oldu.
Siz de sağolun hocam. Formülün nereden geldiğini merak edenler için iyi oldu.
Diğer çözümlü sorular alttadır.