Saat numaralarını tekrar dizin

hocam ilkel kök sadece bir tanım

bu tanım gereği r sayısı n modunda bir ilkel kökse n ile aralarında asal herhangi bir sayı n modunda r^k şeklinde yazılabiliyor demektir.

bu tanımın doğal sonucu olarak n bir asal sayıysa ve r bu asal modun bir ilkel köküyse
r^k ≡1 (mod n) eşitliği ilk kez k=φ(n)=n-1 değerinde sağlanmalıdır. (φ(n)=n sayısından küçük ve n ile aralarında asal sayıların sayısı)

13 için baktığımızda hangi sayının ilk defa 12. kuvveti 1 e denk geliyor bunu cevaplamalıyız.
2 ile başlıyoruz 2⁶ ya baktığımızda değeri -1 olduğundan aramaya bile gerek yok direkt 2 ilkel köktür diyoruz.

p asal olmak üzere (p-1)^p ≡1(mod p) kuralı burdan geliyor demek. Bu arada Üstad, bugün bir öğretmenimize sormuşlar 2008^2009 ≡?(mod2009) Cevabı 1 mi bunun?

hocam p=2 olmadıkça hiçbir p asal sayısı için (p-1)^p ≡1 (modp) sağlanmaz.
hatta (p-1)^p ≡-1 (modp) her zaman doğrudur

sanırım Fermatın küçük teoremi ile ufak bir karışıklık olmuş, yanlış hatırlamış olabilirsiniz
teorem şunu diyor
p bir asal sayı ve n herhangi bir sayıyken
n^p ≡n (modp) , ya da (n,p)=1 ise n^(p-1) ≡1 (modp)

ifadeler çok benzer olduğundan karıştırmış olabilirsiniz.

2008²⁰⁰⁹ sorusuna gelirsek bunun için bu teoremi kullamaya da gerek yok aslında çünkü 2008 sayısı 2009 modunda çok güzel bir sayı yani (-1)

2008²⁰⁰⁹ ≡(-1)²⁰⁰⁹ ≡-1 (mod2009)

gerçi şimdi baktım 2009 asal da değil onun için Fermet teoremi yrine bunun daha genel bir hali olan Euler Teoremini kullanabiliriz (tabi bu soru için dediğim gibi bunlara gerek yok)
o terorem de a ve n aralarında asal herhangi 2 sayıyken
a^φ(n) ≡1 (modn) denkliğinin her zaman sağlandığını söylüyor.

φ(n): Euler'in fi fonksiyonu, sayının kendinden küçük ve kendisiyle aralarında asal olan sayıların sayısı

asal sayılar ilkel kök sayılar teorisi
Tüm Etiketler