Polinomlar

1) P(x) polinomunun (x²−2x−1) ile bölümünden kalan 2x−1 olduğuna göre, P²(x) polinomunun (x²−2x−1) ile bölümünden kalan nedir?

cevap: 4x+5


2) Sabit terimi −1 olan bir P(x) polinomunun x−2 ile bölümünden kalan 5'tir. Buna göre P(x) polinomunun (x²−2x) ile bölümünden kalan kaçtır?

cevap: 3x−1


3) P(ax−1)=3ax−5 polinomu veriliyor. P(ax+2) polinomunun sabit terimi kaçtır?

cevap: 4

4) P(x)=(a+1)x²+x+b polinomu (x²−2x+1) ile tam bölünebildiğine göre, P(x−1) polinomunun (x−2) ile bölümünden kalan kaçtır?

cevap: 0

1-
P(x)=(x²-x-1).Q(x)+2x-1
P²(x)=(x²-x-1).B(x)+mx+n dir.
P²(x) polinomunu tam olarak yazarsak;
P²(x)=[(x²-x-1).Q(x)+2x-1].[(x²-x-1).Q(x)+2x-1] olur. Bu polinom çarpmasında (2x-1).(2x-1) terimi haricindeki tüm terimlerin içerisinde (x²-x-1) çarpanı olacağından, P²(x) polinomunun (x²-x-1) ile bölümünden kalanı belirleyecek olan terim (2x-1).(2x-1) dir.
(2x-1).(2x-1)=4x²-4x+1 olur, buradan sonra polinom bölmesi yaparsak sonuca ulaşırız.

2-
P(x)=(x-2).Q(x)+5
P(x)=x.B(x)-1
P(x)=x.(x-2).H(x)+mx+n
Bize verilenlerden P(2)=5 P(0)=-1 bulunur.
P(x)=x.(x-2).H(x)+mx+n burada x yerine, 2 ve 0 yazdığımızda bir denklem sistemi elde ederiz.
x=2 için;
P(2)=2.0.H(x)+2m+n=5

x=0 için;
P(0)=0.(-2).H(x)+n=-1

Sonuç olarak;
2m+n=5
n=-1
2m-1=5
2m=6
m=3
mx+n=3x-1

3-
P(ax−1)=3ax−5
P(ax+2) polinomunun sabit terimi ax=0 değeri için bulunabilir.
O zaman bize P(2) polinomu soruluyor.

P(ax−1)=3ax−5 burada P(2) değerini bulabilmek için;
ax-1=2
ax=3 deriz ve ax yerine 3 yazarız.

P(2)=3.3-5
=9-5
=4

4-
P(x)=(a+1)x²+x+b polinomu (x-1)² ile tam bölünebildiğine göre, x yerine 1 yazdığımızda kalan 0 olur.
P(1)=0

P(x−1) polinomunun (x−2) ile bölümünden kalan ise x yerine 2 yazılarak bulunur.
x=2 için;
P(1) sonucuna ulaşırız. İlk bölümde P(1) değerini 0 bulmuştuk. O zaman cevaba P(1)=0 deriz.

ellerinize sağlık, çok iyi anlatmışsınız