Polinom

1) P(x)= x^2a+b−1 + x^a−2b+5 − 2x^a+b−1
polinomu (x−2) ile tam böl. göre a.b kaçtır? 0

2) P(x) polinomu (x²+5) ile tam bölünebilmektedir, P(x) pol. nun (x²+2) ile böl. kalan (3x+4) old. göre, P(x) pol. nun katsayılar toplamı kaçtır? 14

3) P(3x+1) − P(2x−1) = 57x³+mx²+nx+k ise, P(4x) polinomunun başkatsayısı kaçtır? 192

4) P(x)=x⁴+ax³+bx²−6x+1
polinomu tam kare old. göre, a+b toplamı kaç olabilir? 5,7,9,12,15

5) (x²+1).P(x) pol. nun (x²−2) ile böl. kalan (4x+3) ve bölüm B(x²−x)dir.
P(x) pol. nun (x+1) ile böl. kalan 1 old. göre, (x−2) ile böl. kalan kaçtır? 1

1) P(x)= x^2a+b−1 + x^a−2b+5 − 2x^a+b−1
polinomu (x−2) ile tam böl. göre a.b kaçtır? 0

P(2)=0 deneyerek bulalım
negatif ifadeyi 0'ın bulunduğu eşitliğe atarsak.ve baştaki 2'yi üste yazarsak

2^2a+b−1 + 2^a−2b+5= 2^a+b

eşitliğin solunda toplanan iki sayı da 2'nin kuvvetidir.Bu toplamlar hangi durumda 2'nin kuvveti yapar ona bakmamız lazım bu sadece 1 yolla mümkündür o da ikisinin eşit olmasıdır.Örneğin 2+2=4 sayısı 2'nin kuvvetidir.Ama 8+4=12 2'nin kuvveti değildir.Bunun nedenine gelirsek alacağımız toplamlar farklı olursa aradaki sayı kuvveti oluşturamaz. Şimdi ifademize bakalıım
2a+b-1=a-2b+5
a+3b=6 yapar.Şimdi eşitliğin sağ tarafına bakalım iki tane 2'nin kuvveti olan aynı üslü sayı toplanırsa toplam bir artar 2ⁿ+2ⁿ=2ⁿ(1+1)'den dolayı yani ve 2a+b-1=a-2b+5 olduğundan biz kolaylık açısından a+b-1'i alırsak toplamlarından bir tane daha 2 gelecektir ve a+b=2a+b-1+1
a+b=2a+b
a=2a çıkar
yani a=0 çıkar
b=2 çıkar
2.0=0

2) P(x) polinomu (x²+5) ile tam bölünebilmektedir, P(x) pol. nun (x²+2) ile böl. kalan (3x+4) old. göre, P(x) pol. nun katsayılar toplamı kaçtır? 14

P(x)=(x²+5).Q(x)=(x²+2).B(x)+3x+4
x².Q(x)+5.Q(x)=x².B(x)+2.B(x)=3x+4
3x+4'ü yalnız bırakalım
x².Q(x)-x².B(x)=0 olmak zorundadır ki eşitliğin sağında kalan 3x+4'ü sağlasın.Bunu açıklayalım
Polinom kuralı gereği derecesi doğal sayıdır.Yani bu polinomların derecesi her şekilde 2 artacaktır yani en düşük polinomun derecesi 0'dır.Bu da 2 artacaktır ve derecesi 2 olacaktır.Ama eşitliğin sağ tarafına 3x+4 var yani 2.derece yok dolayısıyla
x².Q(x)-x².B(x)=0 deriz ve Q(x)=B(x) çıkar
5.Q(x)-2.B(x)=3x+4
5.B(x)-2.B(x)=3x+4
3.B(x)=3x+4

3.B(x)=3x+4 çıkacaktır.
P(x)=(x²+2).B(x)+3x+4
P(1)=3.B(x)+3x+4
3x+4+3x+4=6x+8
=6.1+8=14

3) P(3x+1) − P(2x−1) = 57x³+mx²+nx+k ise, P(4x) polinomunun başkatsayısı kaçtır? 192
Çıkarılması sonucu 3.derece polinom kaldıysa polinom 3.derecedendir.
a.(3x+1)³-a(2x-1)³=57x³
a(27x³+9x²+3x+1)-a(8x³-4x²+2x-1)=57x³
27a-8a=57
19a=57
a=3
yani başkat sayısı 3 imiş ama bu P(x)'in
3.(4x)³=3.64=192

4) P(x)=x⁴+ax³+bx²−6x+1
polinomu tam kare old. göre, a+b toplamı kaç olabilir? (5),7,9,12,15
derecesi 4 ise bu polinom ((cx²+dx)+e) sayısının karesidir.Ama şöyle bir durum var c=1 e=1 olmak zorunda çünkü diğer x⁴'ün kat sayısı 1 e'nin kat sayısı 1
(x²+dx+1)²
=x⁴+d²x+1+2(x²+x³d+dx)
=x⁴+d²x+1+2x²+2x³.d+2dx
2dx=-6
d=-3
9x+2x²=11x²=ax²
2.x³.d=-6x³=bx²
Toplamı 5 yapar.Bu ilk ihtimal diğer ihtimaller ise aralardaki negatiflikler o zaman toplam şekil değiştirir.terimlerin arasına negatif koyarsanız farklı değerler çıkıyor.

5) (x²+1).P(x) pol. nun (x²−2) ile böl. kalan (4x+3) ve bölüm B(x²−x)dir.
P(x) pol. nun (x+1) ile böl. kalan 1 old. göre, (x−2) ile böl. kalan kaçtır? 1

(x²+1).P(x)=(x²−2).B(x²−x)+(4x+3)

P(-1)=1 denmiş.
Şimdi yukarıdaki ifadeye istenilen P(2)'yi yazalım.Ama öncesinde P(-1)'i yazalım

2.P(-1)=(-1).B(2)-1
P(-1)=1 verildiğinden
B(2)=-3 çıkar şimdi P(2)'yi bulalım.
5.P(2)=2.B(2)+11
B(2)=-3 idi
5.P(2)=-6+11=5
P(2)=1

Sağ ol