Asal Çarpanlarla Alakalı Çözemediğim Sorular

Merhaba değerli arkadaşlar
çözemediğim bir kaç sorum vardıda yardımcı olursanız çok sevinirim.
Şimdiden teşekkür ederim.
1. Soru
x, y pozitif tam sayılar olmak üzere,
x²=2².3³.5.y
olduğuna göre, y nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

2. Soru
x, y pozitif tam sayılar olmak üzere,
x²=2³.5².7.y
olduğuna göre en küçük x değeri kaçtır?

3. Soru
k, m pozitif tam sayıları için
k²=24m
olduğuna göre m en az kaçtır?

4. Soru
3.15 üzeri a+1 sayısının tam bölenlerinin sayısı 84 olduğuna göre a kaçtır?

Arkadaşlar kusura bakmayın tekrardan yazıyorum ama yardımcı olacak yok mu acaba?

sorularınızı resim olarak eklemeniz yardımcı olunmaması için en büyük neden bence.

düzenledim kardeşim.

1.
sol taraf bir tamkare olduğundan sağ tarafta her asal sayının çift kuvveti olmalıdır.
y en az dediği için üstü tek olanları en küçük çifte tamamlayan y yi buluruz yani
y=3.5=15 olur

2.
x sağ taraftaki her asal sayıyı en az kuvvetin yarısı kadar içerecektir yani 2 den en az 1,5 tane (yani 2 tane) , 5 ten en az 1 tane , 7 den en az 0,5 tane yani 1 tane içerir
x en az 2².5.7=140 bulunur

3.
yine ilk sorudaki gibi sağ tarafta eksik (tek) kuvvetleri çifte tamamlarız
24=2³.3¹ olduğundan m=2¹.3¹=6 en küçük değerdir.

4.
tam bölenlerinin sayısı 84 ise pozitif bölenlerinin sayısı 84/2=42 dir.
3.15^a+1=3.3^a+1.5^a+1=3^a+2.5^a+1 sayısının (a+2+1).(a+1+1) tane pozitif tam böleni olduğunu biliyoruz
(a+3).(a+2)=42 → a=4 bulunur

Hocam çok teşekkür ederim elinize emeğinize sağlık. Özür dileyerek birşey sormak istiyorum. Ben matematiğe yeni yeni başladığım için anlamadığım ufak bir kısım var. Çarpanlara ayırma konusunda biraz zayıfım. "(a+3).(a+2)=42" buradaki sonucu nasıl buluyoruz acaba?

asal çarpanlara ayrıl haldeki bir yazımda örneğin p ve q asalken p^a.q^b şeklindeki bir gösterimde
pozitif bölenlerin sayısı asal sayıların kuvvetlerinin birer fazlasının çarpılmasıyla elde edilebilir yani burada (a+1).(b+1) oluyor.
basitçe şöyle açıklanabilir
bir bölen için p ve q asal sayılarından başka seçenek yoktur ve bu bölen p den 0,1,2,3,...,a olmak üzere (a+1) tane q dan ise 0,1,2,3,...,b olmak üzere (b+1) tane içerebilir ve her farklı kuvvet için farklı bir sayı elde edileceğinden toplamda (a+1).(b+1) tane farklı pozitif bölen bulunmuş olur.

bizim sorumuzda 3^a+2.5^a+1 olduğundan (a+2+1).(a+1+1) tane pozitif böleni vardır dedik.

Hocam teşekkür ederim tekrardan. Oraya kadarını anladım hocam. Fakat sormak istediğim şuydu. "(a+3).(a+2)=42" bu kısımdan 4 sonucunu nasıl elde ettiniz acaba. Ben o kısmı yapamadımda

aralrında 1 fark olan iki pozitif sayının çarpımı 42 olarak verilmiş
küçük olan 6 büyük olan 7 dir (illa 2. dereceden denklemi çözmeye gerek yok bence)
6=a+2 → a=4 diye sonuca varabiliriz.