Tüm rakamları x olan 33 basamaklı xxx...x doğal sayısının 11 ile bölümünden kalan 3 tür. Buna göre, tüm rakamları x olan 44 basamaklı xxx...x doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtìr?
Cevap:6
Cevap:6
33 basamaklı xxxx....xxx sayısının 11 ile bölümünden kalan üç ise, x=3 olmalıdır. 42*3 dokuza tam bölündüğüne göre yanıt 2*3=6 olur.
İki değerini neden kullandığınızı anlıyamadım.Çözümü ayrıntılì anlatabilirseniz sevinirim.
A3B3 dòrt basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre A8BC dört basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:10
Cevap:10
En ayrıntılı haliyle 33 basamaklı xxxx.....xxxx sayısı x*1032+x*1031+.........+x*10²+x*10+x şeklinde ifade edilebilir.
bu ifade de x*(1032+1031+1030+.......10²+10+1) şeklinde yazılabilir. bize soruda verilen bu sayının mod11'de 3 e denk olduğudur.
ÖNERME: n∈N olmak üzere 10(2n)≡1 (mod11),
ve 10(2n+1)≡10 (mod11). (tümevarımla kolayca ispatlanabilir.)
O halde,
x*(1+10+1+10+1+10+......+10+1)≡ 3 (mod11) yazılabilir. bu ifadedeki 10+1 ler sadeleştirilebileceğine göre x*1≡3 (mod11) yazılabilir ve x=3 bulunur.
ÖNERME: ABCDEF.... doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan sayının basamakları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. (kolayca ispatlanabilir.)
O halde 44 basamaklı xxxxxx....xxxx sayısının 9 ile bölümünden kalan 44*x sayısının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Burada x=3 olduğunu biliyoruz.
44*3=42*3+2*3=(17*3)*3+2*3=9*17+6 yazabiliriz.
9*17 dokuz ile tam bölüneceğinden yanıt ''6'' dır.
bu ifade de x*(1032+1031+1030+.......10²+10+1) şeklinde yazılabilir. bize soruda verilen bu sayının mod11'de 3 e denk olduğudur.
ÖNERME: n∈N olmak üzere 10(2n)≡1 (mod11),
ve 10(2n+1)≡10 (mod11). (tümevarımla kolayca ispatlanabilir.)
O halde,
x*(1+10+1+10+1+10+......+10+1)≡ 3 (mod11) yazılabilir. bu ifadedeki 10+1 ler sadeleştirilebileceğine göre x*1≡3 (mod11) yazılabilir ve x=3 bulunur.
ÖNERME: ABCDEF.... doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan sayının basamakları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. (kolayca ispatlanabilir.)
O halde 44 basamaklı xxxxxx....xxxx sayısının 9 ile bölümünden kalan 44*x sayısının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Burada x=3 olduğunu biliyoruz.
44*3=42*3+2*3=(17*3)*3+2*3=9*17+6 yazabiliriz.
9*17 dokuz ile tam bölüneceğinden yanıt ''6'' dır.
A3B3 dòrt basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan 3 olduğuna göre A8BC dört basamaklı sayısının 17 ile bölümünden kalan kaçtır?
Cevap:10
Cevap:10
cehennemlikadam 04:13 22 Mar 2014 #7
Oradaki A8BC değil de A8B3 olacak sanırım.
A3B3 sayısını çözümlersek 1000A+300+10B+3 olur. 17 ile bölümünden kalanı bulmak istiyorsak buradaki toplam halinde yazdığımız sayıları tek tek 17'ye bölüp kalanlarını toplayarak da bulabiliriz.
1000A ve 10B sayılarını 17'ye bölünce elde edilen kalanlar sırasıyla x ve y olsun.
Yüzler basamağındaki 300'ün 17 ile bölümünden kalan 11 olur. Birler basamağındaki 3'ü bölmemize gerek yok 17'den küçük olduğu için yine kalan 3 olacaktır.
Bu durumda A3B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+y+11+3 = x+y+14 gelir. Ama soruda bu sayının 17 ile bölümünden kalan 3 denilmiş. Demek ki x+y+14=20 olmalı ki bunu da 17 ile böldüğümüzde kalan 3 olsun.
Bu durumda x+y=6 olur.
İkinci sayı A8B3= 1000A+800+10B+3
İkincisi için yine 1000A ve 10B sayılarının 17 ile bölümünden kalan sırasıyla x ve y olsun.
800'ün 17 ile bölümünden kalan 1'dir.
A8B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+1+y+3= x+y+4 olur.
x+y=6
x+y+4=10 olur.
Farkındayım karmaşık oldu biraz ama yazarak anlatmakta biraz güçlük çekiyorum.
A3B3 sayısını çözümlersek 1000A+300+10B+3 olur. 17 ile bölümünden kalanı bulmak istiyorsak buradaki toplam halinde yazdığımız sayıları tek tek 17'ye bölüp kalanlarını toplayarak da bulabiliriz.
1000A ve 10B sayılarını 17'ye bölünce elde edilen kalanlar sırasıyla x ve y olsun.
Yüzler basamağındaki 300'ün 17 ile bölümünden kalan 11 olur. Birler basamağındaki 3'ü bölmemize gerek yok 17'den küçük olduğu için yine kalan 3 olacaktır.
Bu durumda A3B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+y+11+3 = x+y+14 gelir. Ama soruda bu sayının 17 ile bölümünden kalan 3 denilmiş. Demek ki x+y+14=20 olmalı ki bunu da 17 ile böldüğümüzde kalan 3 olsun.
Bu durumda x+y=6 olur.
İkinci sayı A8B3= 1000A+800+10B+3
İkincisi için yine 1000A ve 10B sayılarının 17 ile bölümünden kalan sırasıyla x ve y olsun.
800'ün 17 ile bölümünden kalan 1'dir.
A8B3 sayısının 17 ile bölümünden kalan= x+1+y+3= x+y+4 olur.
x+y=6
x+y+4=10 olur.
Farkındayım karmaşık oldu biraz ama yazarak anlatmakta biraz güçlük çekiyorum.