1. pozitif terimli (an) geometrik dizisinde a4 = 9 ve a6 = 16 ise a5 i bulunuz.
Çözüm:
Bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.rn-1 olduğundan
a4 = a1.r3
a5 = a3.r4
a6 = a1.r5
olur.
Burada görüyoruz ki a5 = a3.r4 eşitliğinin her iki tarafının karesini alırsak
a52 = a₁² . r8 = a₁ .r³.a₁ .r⁵ = a4.a6 olur. Bu eşitlikten;
a52 = a4.a6 ⇒ 9.16 ⇒ a5 = 12 olarak bulunur.
2. Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2n-1, 2n olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler çarpımını bulunuz.
Çözüm:
Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2n-1, 2n olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimleri
a1 = 1 ve 2n = an
a2 = 2 ve 2n-1 = an-1
a3 = 4 ve 2n-2 = an-2
olur.
Görüldüğü üzere;
a1.an = a2.an-1 = a3.an-2 = ... = 2n dir.
Bu üç terimi bulunuz.
Çözüm:
Dizinin ardışık üç terimi an, an+1, an+2 olsun.
an.an+1.an+2 = 27 ve
Dizi geometrik olduğundan an+12 = an.an+2 dir.
an.an+1.an+2 ⇒ an+1 = 3 bulunur. Bu değer yukarıdaki bağıntıda yerine konursa,
an.an+2 = ve ab + an+2 = 10 bulunur.
Toplamrı 10, çarpımları 9 eden sayılar 1 ile 9 ve dizi artan olduğundan an = 1, an+2 = 9 dur.
O halde, aranılan ardışık 3 terim
1,2,3 olur.
4. 2, 4, 8, 16, ... olarak verilen geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulunuz.
Çözüm:
Sn = [a₁(1 - rn)]/(1-r), r ≠ 1
a₁ = 2, n = 10, r = 4/2 = 2
5. 2 ve 64 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte geometrik dizi oluşturacak biçimde 4 sayı daha yerleştilirse bu geometrik dizinin toplamı kaç olur bulunuz.
Çözüm:
2(a1), a1, a2, a3, a4, a5, 64(a6)
a6 = a1.r5 ⇒ 64 = 2.r5 = 32 = 25 ⇒ r = 2 dir.
Bu 6 terimin toplamı ise,
S6 = a₁.(1-r6)/(1-r) = 2.(1-26)/(1-2) = -2(1-26) = -2+27
Çözüm:
Bir geometrik dizinin genel terimi an = a1.rn-1 olduğundan
a4 = a1.r3
a5 = a3.r4
a6 = a1.r5
olur.
Burada görüyoruz ki a5 = a3.r4 eşitliğinin her iki tarafının karesini alırsak
a52 = a₁² . r8 = a₁ .r³.a₁ .r⁵ = a4.a6 olur. Bu eşitlikten;
a52 = a4.a6 ⇒ 9.16 ⇒ a5 = 12 olarak bulunur.
2. Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2n-1, 2n olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimler çarpımını bulunuz.
Çözüm:
Terimleri 1, 2, 4, 8, 16, ... ,2n-1, 2n olan geometrik dizisinin baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimleri
a1 = 1 ve 2n = an
a2 = 2 ve 2n-1 = an-1
a3 = 4 ve 2n-2 = an-2
olur.
Görüldüğü üzere;
a1.an = a2.an-1 = a3.an-2 = ... = 2n dir.
3. Monoton artan bir geometrik dizinin ardaşık üç teriminin çarpımı 27 ve bu terimlerin aritmetik ortalaması
13
3
tür.
Bu üç terimi bulunuz.
Çözüm:
Dizinin ardışık üç terimi an, an+1, an+2 olsun.
an.an+1.an+2 = 27 ve
(an+an+1+an+2)/3 =
13
3
⇒ an+an+1+an+2 = 13 tür.
Dizi geometrik olduğundan an+12 = an.an+2 dir.
an.an+1.an+2 ⇒ an+1 = 3 bulunur. Bu değer yukarıdaki bağıntıda yerine konursa,
an.an+2 = ve ab + an+2 = 10 bulunur.
Toplamrı 10, çarpımları 9 eden sayılar 1 ile 9 ve dizi artan olduğundan an = 1, an+2 = 9 dur.
O halde, aranılan ardışık 3 terim
1,2,3 olur.
4. 2, 4, 8, 16, ... olarak verilen geometrik dizinin ilk 10 teriminin toplamını bulunuz.
Çözüm:
Sn = [a₁(1 - rn)]/(1-r), r ≠ 1
a₁ = 2, n = 10, r = 4/2 = 2
S10 =
2(1-2¹⁰)
1-2
= -2(1-210)
5. 2 ve 64 sayıları arasına, bu sayılarla birlikte geometrik dizi oluşturacak biçimde 4 sayı daha yerleştilirse bu geometrik dizinin toplamı kaç olur bulunuz.
Çözüm:
2(a1), a1, a2, a3, a4, a5, 64(a6)
a6 = a1.r5 ⇒ 64 = 2.r5 = 32 = 25 ⇒ r = 2 dir.
Bu 6 terimin toplamı ise,
S6 = a₁.(1-r6)/(1-r) = 2.(1-26)/(1-2) = -2(1-26) = -2+27
Eline sağlık
Diğer çözümlü sorular alttadır.
Dizilerin Genel Terimini Bulma Dizilerle ilgili sorular Geometrik Dizi ile İlgili Çözümlü Sorular
Tüm Etiketler
Tüm Etiketler