[nazlı2006]

1.Soru

∫

cosx - sinx

1 + sin2x

dx aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

Cvp) - ( sinx + cosx )^-1 + C


2.Soru
∫e^eex e^ex e^x dx aşağıdakilerden hangisine eşittir ?


Cvp) e^eex + C


3.Soru

∫

arctan(lnx)

x(1 + ln²x)

dx aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

Cvp)

1

2

arctan²(lnx) + C

4.Soru

∫

ln(x üssü 4022)

x

dx aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

Cvp) 2011 ln²x + C


5.Soru

∫

3x

√x+1

dx integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir ?

Cvp) 2(x+1)√x+1 - 6 √x+1+C


6.Soru
∫x.cosxdx aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

Cvp) (x²-2)sinx - 2xcosx + C

7.SORU
∫2sinx.cosx.dx integrali aşağıdakilerden hangisine eşittir ?

CVP) 2sinx + C

[ömer_hoca]

Az önce elektrik kesildi, ansızın çıktım.

Madem anlamadın baştan çözelim.

1. Bir integrali alırken, terimleri birbirinin türevi şeklinde ifade etmek isteriz ki hem değişken dönüştürme hem kısmi integral yöntemini kullanabilelim. Bunun için önce verilen kesrin paydasını payına benzer şeklide yazıyoruz.

(sinx+cosx)²=sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sin2x

eşitliğinden

∫[(cosx-sinx)/(1+sin2x)] dx=∫[(cosx-sinx)/(sinx+cosx)²] dx = ∫(cosx-sinx) (sinx+cosx)^-2 dx

yazarız. u= sinx+cosx şeklinde değişken dönüştürürsek

du=(cosx-sinx) dx

olur. Bu durumda

∫u^-2 du = -u^-1+c=-(sinx+cosx)+c

sonucuna ulaşırız.

[ömer_hoca]

3. arctan [u(x)] fonksiyonunun türevinin [u'(x)/(1+u²(x))] olduğunu hemen hatırlıyoruz!

u=arctan(lnx) şeklinde bir değişken dönüşümü yaparsak

du=(lnx)'/[1+ln²x]=1/[x(1+ln²x)] dx

ve integral için de

∫[arctan(lnx)]/[x(1+ln²x)] dx = ∫ u du = (1/2) u² + c = (1/2) arctan²(lnx) + c

yazabiliriz.

[ömer_hoca]

4. Yine hemen lnx^a=a lnx olduğunu hatırlıyoruz. Değişken dönüşümü yapmak için

u=lnx => du=1/x dx

yazıyor ve devam ediyoruz

4022∫(lnx)/x dx = 4022∫u du = 4022*(1/2)u²+c=2011 ln²x+c

[ömer_hoca]

5. Bu soruya baktığımızda pay ve paydanın asıl ve türev anlamında birbiri ile doğrudan ilişkilendirilebileceğini düşünmüyoruz (ya da en azından ben göremiyorum). Bu durumda kısmi integrasyon yöntemini kullanacağız.

dx/(x+1)^(1/2)=dv => 2(x+1)^(1/2)=v

3x=u => 3dx= du

Buna göre

∫3x/(x+1)^(1/2) dx = 6x(x+1)^(1/2)-6∫(x+1)^(1/2)dx=6x(x+1)^(1/2)-4(x+1)^(3/2)+c

Sanırım verilen cevap farklı bir yöntemle bulunmuş o yüzden farklı görünüyor fakat ikisinin de aynı fonksiyon olduğunu gösterebilirsin.

[ömer_hoca]

6. Yine kısmi integral kullanacağız.

cosx dx = du => u = sinx

x = v => dx = dv

Buna göre

∫x cosx dx = x sinx - ∫ sinx dx = x sinx + cosx + c

Bu sorunun yanıtı tamamen yanlış. Çünkü verilen sonucun türevi de x cosx olmuyor.

[ömer_hoca]

7. Verilen ifadede

sinx = u

dersek cosx = du olur. Buna göre

∫2sinx cosx dx = 2 ∫ u du = u² + c = sin²x + c

olur. Diğer bir çözüm şekli de

∫2sinx cosx dx = ∫ sin2x dx = -(1/2) cos2x + c

şeklindedir ve bu iki sonuç trigonometrik eşitliklere göre birbirinden 1 sabit farkı ile ayrılır.

[ömer_hoca]

2. Değişken dönüşümü yapalım:

e^eex= u => du = e^eex (e^ex)' dx=e^eex [e^ex(e^x)'] dx = e^eex [e^ex{e^x(x)'}] dx = e^eex e^exe^x dx

Buna göre:

∫e^eex e^exe^x dx = ∫ du = u = e^eex + c

Tamam, değil mi Nazlı?

[gereksizyorumcu]

hocamız hepsini çözmüş zaten ellerine sağlık ben sadece çözülmeyen soru kalmış mı diye baktım

sadece 5. soruda kısa yoldan √x+1=t denirse
dt=1/2t olacaktır

integral de ∫3(t²-1).2t/t dt olur=∫6t²-6 dt = 2t³-6t+c , burada t=√x+1 yeniden yazılırsa cevap soruda verilen cevap oluyor