Anlayabildiğim kadarıyla bunlar parçalı fonksiyonlar ve belirtilen noktalardan kastın parçalanma noktaları.
Parçalı bir fonksiyonun (veya herhangi bir fonksiyonun) bir noktada türevlenebilmesi için o noktada sürekli olması ve sağdan türevi ile soldan türevinin birbirine eşit olması gerekir.
Derin bir inceleme yapmaya gerek kalmadan görünmektedir ki fonksiyonlar süreklidir. Bunu görmek için: İlk fonksiyonda x=0 yazdığımızda üç parçada da f(0)=0 sonucunu bulmaktayız. İkinci fonksiyonda x=1 yazdığımızda üç parçada da f(1)=1 olmaktadır (ikinci fonksiyonun parçalanma noktasının 1 olduğunu, sıfırın yanlışlıkla yazıldığını varsayıyorum).
Yine parçaların türevlerini alırsak, birinci fonksiyonun üçüncü parçasının her değer için 1 değerini verdiğini görürüz. Halbuki diğer parçalar x=0 için 0 değerini vermektedirler. Buna göre birinci fonksiyon x=0 noktasında türevlenemez.
İkinci fonksiyona baktığımızda yine üçüncü parçanın her değer için 2 sonucunu verdiğini görürüz. Halbuki ikinci parça 0 değerini vermektedir. Öyleyse bu fonksiyon da bu noktada türevlenemez.