1. #1

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    tümevarim

    1-n≥5 için n²<2n (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
    2-{an} dizisinin genel terimi an =32n+4-22n
    her n∈N için 5|an olduğunu gösterin.

  2. #2

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite

    Sponsorlu Bağlantılar

    1) n=5 için;

    5²<2⁵ doğrudur.

    n≥5 ve n=k için;

    k²<2k olduğunu varsayalım;

    Şimdi, (k+1)²<2k+1 ifadesinin doğruluğunu gösterelim:

    Her n∈N5 için;(n≥5) için, 2k>2k+1 olduğuna göre k²<2k ifadesi ile taraf tarafa toplarsak;
    ________________________________________________________________________
    (2n>2n+1 ispatı; n=5 için;
    2⁵>2.5+1 doğrudur.

    n≥5 ve n=k için,
    2k>2k+1 olduğunu varsayalım,

    2k+1>2(k+1)+1 = 2k+1>2k+3 ifadesinin doğruluğunu gösterelim;
    Her n∈N5 için;(n≥5) için,2k>2 dir.

    Bu eşitsizlikle 2k>2k+1 önermesini taraf tarafa toplayalım;

    2k>2k+1
    2k>2
    +___________________
    2k + 2k > 2k+3

    2k+1>2k+3 tür. Bu durumda 2n>2n+1 n∈N5 için doğrudur.)
    ___________________________________________________________________
    2k>2k+1
    2k >k²
    +_______________
    2k+1>k²+2k+1 = 2k+1>(k+1)² dir.

    Bu durumda , Her n∈N5 için, n²<2n doğrudur.

  3. #3

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf

    Sponsorlu Bağlantılar

    teşekkür ederim!

  4. #4

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    Rica ederim. Anlamadığınız bir yer varsa lütfen sorun.

  5. #5

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    hayır anladım. taraf tarafa toplamak aklıma gelmemişti.

  6. #6

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    2. soruda da tümevarım ile ispat mı isteniyor?

  7. #7

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    Evet tümevarım yoluyla ispatı isteniyor.

  8. #8

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    2. soru için ip ucu olarak şu verilmiş: an+1 + an

  9. #9

    Statü
    Grubu
    Kıdemli Üye
    İş
    Üniversite
    2)Verilen önermeyi her n∈N⁺ için,

    P(n): 32n+4-22n=5m (m∈Z) şeklinde yazabiliriz.

    n=1 için,
    P(1):36-4=5.145 olup P(1) doğrudur.

    n=k için,
    P(k): 32k+4-22k=5p (p∈Z) olduğunu varsayarak,

    n=k+1 için,

    P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) olduğunu gösterelim:

    P(k+1) de eşitliği;

    9.32k+4-4.22k=5t olarak düzenleyelim,

    Sonra P(k) ile bu eşitliği taraf tarafa toplayalım;

    9.32k+4-4.22k=5t
    32k+4-22k=5p
    +___________________________________
    10.32k+4-5.22k=5t+5p
    ifadeyi 5 parantezine alırsak;

    5(2.32k+4-22k)=5(t+p)

    Bu durumda 32k+4-22k 5 e tam bölündüğünü varsaydığımıza göre kendisiyle topladığımız ifadeninde 5 e tam bölünmesi durumunda toplamlarının 5 e tam bölünmesi durumu söz konusu olabilir. Yani P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) doğrudur.

    Demek ki, P(n) önermesi her n∈N⁺ için doğrudur.

  10. #10

    Statü
    Grubu
    Üye
    İş
    1. sınıf
    Teşekkürler!


 
1 2

  • Bu yazıyı beğenerek
    destek
    verebilirsiniz

    Foruma üye olmana gerek yok! Facebook hesabınla yorumlarını bekliyoruz!
  • Forum Kullanım ve Gizlilik Kuralları