tümevarim

1-n≥5 için n²<2ⁿ (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
2-{a_n} dizisinin genel terimi a_n =3²ⁿ⁺⁴-2²ⁿ
her n∈N için 5|a_n olduğunu gösterin.

1) n=5 için;

5²<2⁵ doğrudur.

n≥5 ve n=k için;

k²<2^k olduğunu varsayalım;

Şimdi, (k+1)²<2^k+1 ifadesinin doğruluğunu gösterelim:

Her n∈N₅ için;(n≥5) için, 2^k>2k+1 olduğuna göre k²<2^k ifadesi ile taraf tarafa toplarsak;
________________________________________________________________________
(2ⁿ>2n+1 ispatı; n=5 için;
2⁵>2.5+1 doğrudur.

n≥5 ve n=k için,
2^k>2k+1 olduğunu varsayalım,

2^k+1>2(k+1)+1 = 2^k+1>2k+3 ifadesinin doğruluğunu gösterelim;
Her n∈N₅ için;(n≥5) için,2^k>2 dir.

Bu eşitsizlikle 2^k>2k+1 önermesini taraf tarafa toplayalım;

2^k>2k+1
2^k>2
+___________________
2^k + 2^k > 2k+3

2^k+1>2k+3 tür. Bu durumda 2ⁿ>2n+1 n∈N₅ için doğrudur.)
___________________________________________________________________
2^k>2k+1
2^k >k²
+_______________
2^k+1>k²+2k+1 = 2^k+1>(k+1)² dir.

Bu durumda , Her n∈N₅ için, n²<2ⁿ doğrudur.

teşekkür ederim!

Rica ederim. Anlamadığınız bir yer varsa lütfen sorun.

hayır anladım. taraf tarafa toplamak aklıma gelmemişti.

2. soruda da tümevarım ile ispat mı isteniyor?

Evet tümevarım yoluyla ispatı isteniyor.

2. soru için ip ucu olarak şu verilmiş: a_n+1 + a_n

2)Verilen önermeyi her n∈N⁺ için,

P(n): 3²ⁿ⁺⁴-2²ⁿ=5m (m∈Z) şeklinde yazabiliriz.

n=1 için,
P(1):3⁶-4=5.145 olup P(1) doğrudur.

n=k için,
P(k): 3^2k+4-2^2k=5p (p∈Z) olduğunu varsayarak,

n=k+1 için,

P(k+1):3^2k+6-2^2k+2=5t (t∈Z) olduğunu gösterelim:

P(k+1) de eşitliği;

9.3^2k+4-4.2^2k=5t olarak düzenleyelim,

Sonra P(k) ile bu eşitliği taraf tarafa toplayalım;

9.3^2k+4-4.2^2k=5t
3^2k+4-2^2k=5p
+___________________________________
10.3^2k+4-5.2^2k=5t+5p
ifadeyi 5 parantezine alırsak;

5(2.3^2k+4-2^2k)=5(t+p)

Bu durumda 3^2k+4-2^2k 5 e tam bölündüğünü varsaydığımıza göre kendisiyle topladığımız ifadeninde 5 e tam bölünmesi durumunda toplamlarının 5 e tam bölünmesi durumu söz konusu olabilir. Yani P(k+1):3^2k+6-2^2k+2=5t (t∈Z) doğrudur.

Demek ki, P(n) önermesi her n∈N⁺ için doğrudur.

Teşekkürler!