tümevarim

1-n≥5 için n²<2ⁿ (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
2-{a_n} dizisinin genel terimi a_n =3²ⁿ⁺⁴-2²ⁿ
her n∈N için 5|a_n olduğunu gösterin.

1) n=5 için;

5²<2⁵ doğrudur.

n≥5 ve n=k için;

k²<2^k olduğunu varsayalım;

Şimdi, (k+1)²<2^k+1 ifadesinin doğruluğunu gösterelim:

Her n∈N₅ için;(n≥5) için, 2^k>2k+1 olduğuna göre k²<2^k ifadesi ile taraf tarafa toplarsak;
________________________________________________________________________
(2ⁿ>2n+1 ispatı; n=5 için;
2⁵>2.5+1 doğrudur.

n≥5 ve n=k için,
2^k>2k+1 olduğunu varsayalım,

2^k+1>2(k+1)+1 = 2^k+1>2k+3 ifadesinin doğruluğunu gösterelim;
Her n∈N₅ için;(n≥5) için,2^k>2 dir.

Bu eşitsizlikle 2^k>2k+1 önermesini taraf tarafa toplayalım;

2^k>2k+1
2^k>2
+___________________
2^k + 2^k > 2k+3

2^k+1>2k+3 tür. Bu durumda 2ⁿ>2n+1 n∈N₅ için doğrudur.)
___________________________________________________________________
2^k>2k+1
2^k >k²
+_______________
2^k+1>k²+2k+1 = 2^k+1>(k+1)² dir.

Bu durumda , Her n∈N₅ için, n²<2ⁿ doğrudur.

teşekkür ederim!

Rica ederim. Anlamadığınız bir yer varsa lütfen sorun.

hayır anladım. taraf tarafa toplamak aklıma gelmemişti.

2. soruda da tümevarım ile ispat mı isteniyor?

Evet tümevarım yoluyla ispatı isteniyor.

2. soru için ip ucu olarak şu verilmiş: a_n+1 + a_n

2)Verilen önermeyi her n∈N⁺ için,

P(n): 3²ⁿ⁺⁴-2²ⁿ=5m (m∈Z) şeklinde yazabiliriz.

n=1 için,
P(1):3⁶-4=5.145 olup P(1) doğrudur.

n=k için,
P(k): 3^2k+4-2^2k=5p (p∈Z) olduğunu varsayarak,

n=k+1 için,

P(k+1):3^2k+6-2^2k+2=5t (t∈Z) olduğunu gösterelim:

P(k+1) de eşitliği;

9.3^2k+4-4.2^2k=5t olarak düzenleyelim,

Sonra P(k) ile bu eşitliği taraf tarafa toplayalım;

9.3^2k+4-4.2^2k=5t
3^2k+4-2^2k=5p
+___________________________________
10.3^2k+4-5.2^2k=5t+5p
ifadeyi 5 parantezine alırsak;

5(2.3^2k+4-2^2k)=5(t+p)

Bu durumda 3^2k+4-2^2k 5 e tam bölündüğünü varsaydığımıza göre kendisiyle topladığımız ifadeninde 5 e tam bölünmesi durumunda toplamlarının 5 e tam bölünmesi durumu söz konusu olabilir. Yani P(k+1):3^2k+6-2^2k+2=5t (t∈Z) doğrudur.

Demek ki, P(n) önermesi her n∈N⁺ için doğrudur.

Teşekkürler!

Rica ederim.

3²ⁿ⁺⁴ ⁻ 2²ⁿ=5m
3²⁻2²=5
+ ---------------------------------------------------------------- taraf tarafa toplarsak
3²ⁿ⁺⁶⁻2²ⁿ⁺²=5(m+1)
bu ispat için yeterli olmaz mı acaba?

12ⁿ+10 ifadesinin n≥ 1 için 11 bölündüğünü tümevarımla gösterin.
Bu soruya da bakabilir misiniz?

narin'den alıntı:

3²ⁿ⁺⁴ ⁻ 2²ⁿ=5m
3²⁻2²=5
+ ---------------------------------------------------------------- taraf tarafa toplarsak
3²ⁿ⁺⁶⁻2²ⁿ⁺²=5(m+1)
bu ispat için yeterli olmaz mı acaba?

Üslü sayılarda toplama işlemini üslere bu şekilde uygulayamayız. Ancak çarpım durumunda üsleri toplayabiliriz ki bu da bu ispat için kullanışlı olmaz. Aklıma gelen en iyi yöntem yazığım gibiydi.

12ⁿ⁺10=11k
12ⁿ*11=11*12ⁿ
+-----------------------------------------------------------
12ⁿ*12+10=11(k+12ⁿ)
bu cevap doğru mu?

Evet burada yapılan toplama doğru.

n≥0 ve n∈N ise 3ⁿ⁺³⁻4⁴ⁿ⁺² 11 e bölünebildiğini tümevarımla gösterin.

Aslında benzer bir soru çözmüştük. İsterseniz çözdüğümüz soruya bir göz atın. Yine de çözemezseniz çözelim.

ben çozmeye çalıştım ama şurada takıldım:
3ⁿ⁺³⁻4⁴ⁿ⁺²=11k
3*3ⁿ⁺³⁻4⁴ *4⁴ⁿ⁺²=11m
+-----------------------------------------------------------
4*3ⁿ⁺³⁻4⁵ *4⁴ⁿ⁺²=11(k+m)
burada eşitliğin sol tarafında 11 in katı olan hiç bir şey yok! Bu yüzden ispat tamamlanmadı.

narin'den alıntı:

ben çozmeye çalıştım ama şurada takıldım:
3ⁿ⁺³⁻4⁴ⁿ⁺²=11k
3*3ⁿ⁺³⁻4⁴ *4⁴ⁿ⁺²=11m
+-----------------------------------------------------------
4*3ⁿ⁺³⁻4⁵ *4⁴ⁿ⁺²=11(k+m)
burada eşitliğin sol tarafında 11 in katı olan hiç bir şey yok! Bu yüzden ispat tamamlanmadı.

8.3ⁿ⁺³ -8.4⁴ⁿ⁺²=8.11k (Her iki tarafı 8 ile çarpıyorum.)
3.3ⁿ⁺³ -4⁴.4⁴ⁿ⁺²=11m
+__________________________________________________

11.3ⁿ⁺³-264.4⁴.4⁴ⁿ⁺²=11m+88k

11(3ⁿ⁺³-24.4⁴.4⁴ⁿ⁺²)=11(m+8k)

Bu şekilde olur.