1-n≥5 için n²<2n (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
2-{an} dizisinin genel terimi an =32n+4-22n
her n∈N için 5|an olduğunu gösterin.
1-n≥5 için n²<2n (n ∈N) tümevarım yoluyla ispatı?
2-{an} dizisinin genel terimi an =32n+4-22n
her n∈N için 5|an olduğunu gösterin.
1) n=5 için;
5²<2⁵ doğrudur.
n≥5 ve n=k için;
k²<2k olduğunu varsayalım;
Şimdi, (k+1)²<2k+1 ifadesinin doğruluğunu gösterelim:
Her n∈N5 için;(n≥5) için, 2k>2k+1 olduğuna göre k²<2k ifadesi ile taraf tarafa toplarsak;
________________________________________________________________________
(2n>2n+1 ispatı; n=5 için;
2⁵>2.5+1 doğrudur.
n≥5 ve n=k için,
2k>2k+1 olduğunu varsayalım,
2k+1>2(k+1)+1 = 2k+1>2k+3 ifadesinin doğruluğunu gösterelim;
Her n∈N5 için;(n≥5) için,2k>2 dir.
Bu eşitsizlikle 2k>2k+1 önermesini taraf tarafa toplayalım;
2k>2k+1
2k>2
+___________________
2k + 2k > 2k+3
2k+1>2k+3 tür. Bu durumda 2n>2n+1 n∈N5 için doğrudur.)
___________________________________________________________________
2k>2k+1
2k >k²
+_______________
2k+1>k²+2k+1 = 2k+1>(k+1)² dir.
Bu durumda , Her n∈N5 için, n²<2n doğrudur.
teşekkür ederim!
Rica ederim. Anlamadığınız bir yer varsa lütfen sorun.
hayır anladım. taraf tarafa toplamak aklıma gelmemişti.
2. soruda da tümevarım ile ispat mı isteniyor?
Evet tümevarım yoluyla ispatı isteniyor.
2. soru için ip ucu olarak şu verilmiş: an+1 + an
2)Verilen önermeyi her n∈N⁺ için,
P(n): 32n+4-22n=5m (m∈Z) şeklinde yazabiliriz.
n=1 için,
P(1):36-4=5.145 olup P(1) doğrudur.
n=k için,
P(k): 32k+4-22k=5p (p∈Z) olduğunu varsayarak,
n=k+1 için,
P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) olduğunu gösterelim:
P(k+1) de eşitliği;
9.32k+4-4.22k=5t olarak düzenleyelim,
Sonra P(k) ile bu eşitliği taraf tarafa toplayalım;
9.32k+4-4.22k=5t
32k+4-22k=5p
+___________________________________
10.32k+4-5.22k=5t+5p
ifadeyi 5 parantezine alırsak;
5(2.32k+4-22k)=5(t+p)
Bu durumda 32k+4-22k 5 e tam bölündüğünü varsaydığımıza göre kendisiyle topladığımız ifadeninde 5 e tam bölünmesi durumunda toplamlarının 5 e tam bölünmesi durumu söz konusu olabilir. Yani P(k+1):32k+6-22k+2=5t (t∈Z) doğrudur.
Demek ki, P(n) önermesi her n∈N⁺ için doğrudur.
Teşekkürler!
Rica ederim.
32n+4 ⁻ 22n=5m
3²⁻2²=5
+ ---------------------------------------------------------------- taraf tarafa toplarsak
32n+6⁻22n+2=5(m+1)
bu ispat için yeterli olmaz mı acaba?
12n+10 ifadesinin n≥ 1 için 11 bölündüğünü tümevarımla gösterin.
Bu soruya da bakabilir misiniz?
12n⁺10=11k
12n*11=11*12n
+-----------------------------------------------------------
12n*12+10=11(k+12n)
bu cevap doğru mu?
Evet burada yapılan toplama doğru.
n≥0 ve n∈N ise 3n+3⁻44n+2 11 e bölünebildiğini tümevarımla gösterin.
Aslında benzer bir soru çözmüştük. İsterseniz çözdüğümüz soruya bir göz atın. Yine de çözemezseniz çözelim.
ben çozmeye çalıştım ama şurada takıldım:
3n+3⁻44n+2=11k
3*3n+3⁻4⁴ *44n+2=11m
+-----------------------------------------------------------
4*3n+3⁻4⁵ *44n+2=11(k+m)
burada eşitliğin sol tarafında 11 in katı olan hiç bir şey yok! Bu yüzden ispat tamamlanmadı.